对称多项式的一些结论

定义

数学中的对称多项式是一种特殊的多元多项式。
如果一个 n 元多项式 \(\text P(x_1,x_2,...,x_n)\) ,对任意的 n 元置换 \(\sigma\),都有 \(\text P(x_{\sigma_1}, x_{\sigma_2}, ..., x_{\sigma_n})=\text P(x_1,x_2, ...,x_n)\) ,就说 \(\text P\) 是对称多项式。

一些(特殊的)例子

范德蒙德矩阵的行列式值: \(\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\) ,顺便说一句这个东西也是多项式 \(\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)\) 的判别式
等幂对称式: \(p_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\)
初等对称式: \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{S\subseteq\{1,2,...,n\},|S|=k}\prod\limits_{i\in S}x_i,1\le k\le n\) ,当 \(k>n\)\(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=0\) ,当 \(k=0\) 时, \(e_k=1\)
完全齐次对称式: \(h_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{1\le i_1\le i_2\le\cdots\le i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}\),当 \(k=0\) 时, \(h_k=1\)

对称多项式基本定理

一个 n 元多项式 F 是一些 n 元初等对称式的代数组合,当且仅当 F 是对称多项式
该定理的直接推论: 将首一多项式的 n 个根带入一个对称多项式,等于将原多项式的各项系数带入某个多项式

一些有趣的结论

由于讨论的 n 个变元都一样,以下把等幂对称式,初等对称式,完全初等对称式的第 \(k\) 项分别简称为 \(p_k,e_k,h_k\)
\(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}p_ix^i,E_0(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}e_ix^i,H(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}h_ix^i,E(x)=E_0(-x)\)

结论1

\(E*H=1\)
证明:
显然有 \(H(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac1{1-x_ix}\)\(F(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^ie_ix^{n-i}\)
那么 \(x^nF(\frac1x)=\prod\limits_{i=1}^n(1-x_ix)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^ie_ix^i=E(x)\)
于是 \(E*H=1\)
得证

结论2

\[\begin{aligned} e_k(1,2,...,n)=&S1_{n+1}^{n+1-k}\\ h_k(1,2,...,n)=&S2_{n+k}^{n} \end{aligned} \]

将生成函数进行比对即可证明

结论3

\(\forall n,k\ge1,ke_k=\sum\limits_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i\)
可以用数学归纳法证明,从一元推到n元的形式
或者我们冷静一下,考虑等幂和的推导方式,由于 \(P(x)=\sum\limits_{i=1}^n\frac1{1-a_ix}\) ,且 \(\frac1{1-a_ix}=1-x(\ln(1-a_ix))'\) ,于是能够推出 \(P(x)=n-x(\ln(\prod\limits_{i=1}^n(1-a_ix)))'\) ,即 \(P(x)=n-x(\ln(E(x)))'\) ,与结论 3 相符。

同时可以得到的结论是 \(E(x)=\frac1{e^{\int\frac{P(x)-n}x\text dx}},P(x)=n+x\ln(H(x)),H(x)=e^{\int\frac{P(x)-n}x\text dx}\)说不定就能用上
比如说给你一个 \(P(x)\) ,让你还原所有的 \(a_i\) ,那么我们可以求出 \(E(x)\) ,然后求出 \(E(x)\) 所有根.

posted @ 2020-02-19 23:49  soroboruo  阅读(244)  评论(0编辑  收藏