高数：第五章（同济大学第七版）

由于图片太难看了，所以说更新了一下换成了文字。

定积分

一·定积分的性质
㈠ 基本性质：

(1)当b=a时， $\int_{a}^{a} f(x) \,dx$=0

(2)当a>b时， $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$=- $\int_{b}^{a} f(x) \,dx$

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㈡推论：

推论一：如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),那么 $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ ≤ $\int_{a}^{b} g(x) \,dx$ (a<b)
　　　　
推论二：∣$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ ∣ ≤$\int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$

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㈢定积分中值定理：在区间[a,b]上至少存在一点ε使得以区间[a，b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ε)的一个矩形的面积。
　　　　f($\xi$)= $\frac{1}{b-a}$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$

f(ε)称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。

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二·微积分基本公式
㈠积分上限函数求导：
　　　　通俗来讲，就是将积分上限（不是上限的话加个负号，变为上限）中的未知数直接替代被积函数中的未知数。注意d*中的未知数也要替换。

课后习题第五

㈡牛顿莱布尼茨公式：
　　　　直接求反导，然后上下限分别代入，上限带入的结果减去下限带入的结果。
　　　　也可以与求极限相结合，利用洛必达计算。。。p243例八

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三·换元法与分部积分法
㈠换元法：与不定积分大体不差，只举不同处。

①若f(x)在[-a,a]上为偶函数，则可以求在[0,a]上的定积分，再乘2.
若为奇函数则直接等于0.｛偶倍奇零｝

②有许多有用的结论：
设f(x)在[0,1]上连续，可得：

（1）$\int_{0}^{\pi/2} f($sinx$) \,dx$=$\int_{0}^{\pi/2} f($cosx$) \,dx$

(2)$\int_{0}^{\pi} xf($sinx$) \,dx$=$\pi$/2$\int_{0}^{\pi} f($sinx$) \,dx$=$\pi$$\int_{0}^{\pi/2} f($sinx$) dx$

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设f(x)是连续的周期函数，周期为T，则

（1）$\int_{a}^{a+T} f(x) dx$=$\int_{0}^{T} f(x) \,dx$

(2)$\int_{a}^{a+nT} f(x) dx$=n$\int_{0}^{T} f(x) \,dx$ (n$\in$N)

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㈡分部积分法：
　　　计算sin或cos的n次方（有区间限制[0,π/2]
　　　
$I_2m$=$\frac{2m-1}{2m}$ $\cdot$$\frac{2m-3}{2m-2}$ $\cdot$…$\frac{5}{6}$ $\cdot$$\frac{3}{4}$ $\cdot$$\frac{1}{2}$ $I_0$

$I_2m+1$=$\frac{2m}{2m+1}$ $\cdot$$\frac{2m-2}{2m-1}$ $\cdot$…$\frac{6}{7}$ $\cdot$$\frac{4}{5}$ $\cdot$$\frac{2}{3}$ $I_1$(m=1,2,3…)

其中：
$I_0$=$\int_{0}^{\pi/2} dx$= $\frac{\pi}{2}$

$I_1$=$\int_{0}^{\pi/2}sinx dx$=1

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四·反常积分

只需注意一点：瑕点，有瑕点时需要暴露出来，把区间分两段。
一般来说：当上下限都存在时，才会有瑕点。
（有极限时为收敛，无极限时为发散）

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