计数/容斥乱做

目录

• 计数/容斥乱做
  • 「SHOI2015」超能粒子炮・改
  • 「HAOI2017」方案数
  • 「FJOI2017」矩阵填数
  • 「TJOI2019」唱、跳、rap 和篮球
  • 「CTSC2017」吉夫特
  • 「LibreOJ NOI Round #2」不等关系
  • CF838D
  • 「HAOI2018」染色
  • 付公主的背包
  • 「SDOI2017」遗忘的集合
  • ODE
    • 斐波那契
  • luoguP4705 玩游戏

计数/容斥乱做

容斥题可以手玩n比较小的情况，然后就大脑升级力，，，

「SHOI2015」超能粒子炮・改

考虑Lucas定理，直接按余数分下类就能递归了

「HAOI2017」方案数

容斥，考虑枚举第一个经过的障碍物，直接减就行了，就像容斥和莫比乌斯反演的关系一样，\(n^2\)就没必要求容斥系数。

「FJOI2017」矩阵填数

\(2^n\)容斥枚举哪些块是\(<v\)，哪些块\(\leq v\)，容斥系数即为\(-1^{小于v的块数}\)

具体实现可以离散化，n个矩形把矩阵分成了\(n^2\)个部分直接计算

「TJOI2019」唱、跳、rap 和篮球

容斥枚举\(abcd\)有多少个，我不会组合数，可以\(O(n^2)\)dp出来这一部分的方案数。然后计算把剩下的分配一下的方案数，就是四个EGF卷起来，还是比较简单的。（然而我最开始算的OGF调了半天）

「CTSC2017」吉夫特

\(a_{b_i}\) 必然是 \(a_{b_i-1}\) 二进制上的超集，分块，设 \(dp[x][y]\) 为前九位为 \(x\) ，后九位为 \(y\) 的子集的方案数，每次就只用枚举一半，随机\(a_i\)的情况下很快。

「LibreOJ NOI Round #2」不等关系

讲课讲的经典套路题，楼下细🔒。

先手玩小情况，考虑\(a>b>c<d\)，它就等于\((a>b\ ?\ c<d)-(a\ ?\ b<c<d)+(a<b<c<d)\)

于是我们枚举变成\(<\)的\(>\)有多少个，容斥系数很显然，最后用个分治NTT。

放树上也能做到\(n^2\)，就是一个树背包，不过没法多项式。

CF838D

考虑加一个位置，然后最后每个位置有没有人都是等价的，所以用概率分析就做完了。

「HAOI2018」染色

最开始自己推的有一点小问题，原因是这题有两个恰好，要搞清楚对哪个恰好二项式反演

所以钦定了\(i\)种颜色之后这\(i\)种颜色就不再用了，我们对颜色种数而不是出现次数二项式反演。

\[g(i)={m\choose i}{n\choose is}\frac{(is)!}{\prod_is!}(m-i)^{n-is}=\sum_{j=i}^m {j\choose i}f(j) \]

二项式反演可得：

\[f(k)=\sum_{i=k}^m-1^{i-k}g(i){i\choose k} \]

一遍NTT就做完了，这个要反着卷。预处理阶乘最好直接到maxn啊啊啊啊啊WA了好几回

付公主的背包

这种不能直接乘的可以取ln加起来，取完ln后的形式可以用泰勒展开分析，之前写过。

「SDOI2017」遗忘的集合

考虑知道S计算f就是上面的东西，考虑形式化表示这东西，设\(a_i\)表示S中有没有\(i\)，则

\[f=\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\left(1-x^{i}\right)^{a_{i}}}=\exp \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x^{i j}}{j}\right) \]

那么把\(f\)取ln，枚举什么j可以产生贡献，可以得到

\[f_i=\sum_{j|i}a_j\frac{j}{i}=\frac{1}{i}\sum_{j|i}a_jj \]

莫比乌斯反演即可得到\(a_i\)，这题还要MTT求\(\ln\)恶心的很。

ODE

一直不擅长这个，就是expln的意义啥的

斐波那契

设 \(F(i)\) 表示第 \(i\) 个斐波那契数，给定 \(n\)，考虑所有正整数序列 \({ai}\) 使得 \(a_1+a_2+…+a_m=n\)，求所有方案下 \(F(a1)*F(a2)*…*F(am)\) 的和。

设斐波那契数列是\(f\)，答案\(g=1+f+f^2+\cdots=\frac{1}{1-f}=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}\)

然后要用生成函数解递推式，考虑把分母乘到左边，

\[(1-2x-x^2)g=1-x-x^2 \]

可以想象是后面都消掉了只剩前三项，那么可以得到第三项后的递推式\(g[i]=2*g[i-1]+g[i-2]\)

我们设前三项的系数是\(a,b,c\)，那么有

\[(1-2x-x^2)(a+bx+cx^2)=1-x-x^2 \\a=1 \\b-2a=-1\\ -a-2b+c=-1 \]

解得

\[a=1,b=1,c=2 \]

就可以矩阵快速幂了。

luoguP4705 玩游戏

这个题可以转化成数列k次方和，

考虑数列k次方和的答案的生成函数为：

\[\sum_{i=0}^{\infty} x^{i} \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{i}=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1-x a_{j}} \]

这样己经可以分治 NTT 了，通分之后同时维护分子分母即可。

吐了，我再用vector写任何多项式算法立马吃屎