P3239 [HNOI2015] 亚瑟王

P3239 [HNOI2015] 亚瑟王 题解

洛谷的题解说的稀里糊涂的。

题意简述：给一个卡牌序列，你要玩 \(m\) 轮游戏。每轮遍历一次数组，找到一张没有被使用的卡牌以 \(p(i)\) 的概率打出造成 \(d(i)\) 的伤害。

求造成伤害的期望。

数据范围：\(1\le n\le 220，0\le m\le 132\) 。

Solution

一眼概率期望 dp，考虑怎么推式子。

由期望的性质，考虑将求期望转为求每张牌被打出的概率。

直接设 \(F(i)\) 为第 \(i\) 张牌打出的概率，容易想到，有：

\[ans=\sum_{i=1}^n F(i)\cdot d(i) \]

考虑求出 \(F(i)\) ，我们发现第 2 张到第 \(n\) 张卡牌求概率被前面的东西限制，即会跳过某些轮。

我们先写出第一张卡牌的概率：

\[F(1)=1-(1-p(i))^m \]

莫名像 2024新高考II卷数学 18 题。

我们考虑第 \(i\) 张卡牌的限制，假设前面有 \(j\) 轮被跳过（卡牌被使用导致结束回合）。

我们写成一个求和式的形式，设 \(f(i,j)\) 为前面 \(i\) 张卡牌，恰好有 \(j\) 个回合被跳过的概率。有：

\[F(i)=\sum_{j=0}^mf(i-1,j)\cdot (1-(1-p(i))^{m-j}) \]

这个式子的意思是其中有 \(j\) 个回合被跳过，剩下有 \(m-j\) 个回合，美国回合都有可能打这出张卡牌。

这下我们只需求出 \(f(i,j)\) 的递推式即可。

我们分两种情况：

1. 第 \(i\) 张打出，即有 \(m-j+1\) 个回合有概率打出：\(f(i,j)=f(i-1,j-1)\cdot (1-(1-p(i))^{m-j+1})\)

2. 第 \(i\) 张被雪藏，即剩下 \(m-j\) 个回合都没被打出：\(f(i,j)=f(i-1,j)\cdot (1-p(i))^{m-j}\)

于是我们先求 \(f\) 再求 \(F\) ，最后统计答案即可。时间复杂度为 \(O(Tnm)\) 。

可能根据写法问题需要预处理 \((1-p(i))^k\) 。