CF2006C Eri and Expanded Sets

CF2006C Eri and Expanded Sets

脑经急转弯，记录一下很妙的思路。

题意简述： 定义一个区间是 "好的" ，当且仅当将区间中的所有数插入一个空的集合中，每次使用两个奇偶性相同的集合中的数（不取出），将平均数插入集合中，使得最后集合中的数可以变为公差为 1 的等差数列。求一个数列中好的子区间个数。

数据范围： \(1\le n \le400000\) 。

Solution

给一个序列我们一开始没什么思路。先考虑两个数 \(x,y,(x<y)\) ，一直操作它们最后会变成什么。

我们发现，假设 \(y-x=d\) ，因为不会出现小数，最后会变成一个公差恒定的等差序列。

我们发现每插一遍公差除以 2 。所以最后的公差一定是 \(d\) 除去所有 2 的因子，设为 \(d'\)。

我们再考虑三个奇偶性相同的数 \(x,y,z,(x<y<z)\) ，假设 \(z-x=a,z-y=b\) 。

我们先按照前面说的，补全公差为 \(a'\) 和 \(b'\) 的等差数列。我们发现，居然出现了 \(a-b\) 状物。 我们发现这个东西很像 \(\gcd\) 。

对于一个区间，操作完排完序以后一定为公差为奇数的等差序列。（否则可以继续拆）

这不满足我们的条件，我们需要最后公差为 1 。于是这个东西等价于将原数组差分后求解 $ \gcd$ ，让 \(\gcd=0\) 或 \(\gcd=2^k,k\in Z\) 。

剩下的东西就很喜闻乐见，扫描线/线段树二分即可。

时间复杂度为 \(O(n\log n \log V)\) 或 \(O(n log n)\) 。

代码不放了。