KMP 自动机

KMP 自动机

有时候我们需要重复跳KMP上的nxt[]，每次都跳太劣了，我们考虑优化它。

显然，我们都知道，每个nxt[i]，都有nxt[i]<i，我们将所有nxt[i]->i连边，我们会发现它们构成一棵树，这被叫做失配树。

我们每次跳nxt[]的过程都相当于在树上跳祖先，我们发现很多过程在树上都变得显然了。

比如我们要在另一个字符串上匹配一个串，我们找到最长的匹配长度，就相当于跳祖先和跳到另一个串。

我们发现这个转移构成一张图，在图上找点就做完了。

我们发现跳祖先太慢了，多次操作可能会T。

例题 Prefix Function Queries

题意简述：每次在\(S\)串后加几个字符，求新加进来的字符的nxt[],询问间独立。

数据范围：\(|S|\le 10^6,q\le 10^5,|T|\le 10\)

我们暴力跳，时间复杂度是\(O(|S|+|S||T|q)\)，显然不能过。

我们发现跳nxt[]是个非常单调的过程，我们每次都在往前跳直到\(s[j+1]=s[i]\)。

我们发现这个东西的数量很小，只有\(O(1e6\times 26)\)，不妨将它离线下来：

我们定义\(T(i,j)\)从\(i\)开始，往前跳nxt[]，直到\(nxt[i]=j\)为止，我们最后在的位置。

本质上就是\(i\)匹配字符\(j\)的位置。

有：

\[T(i,j)=T(nxt[i],j) \]

我们要将前\(n\)个和后\(m\)个接起来。

所以我们要强制让第\(n+1\)和\(n\)接起来，让它从\(n\)开始跳。

所以有：

\[T(n,s[n+1])=n \]

然后这道题就做完了，但是我们对算法的探索永无止境。

前面我们提到所有的nxt[]构成一颗失配树，我们将每个点拆成\(O(26)\)个状态。

我们发现，在原有的失配树上，有一些其他的边，从一个点指向它的祖先中的一点，容易发现，我们打破的原来的树性质，加入了一些压缩后的路径，它构成一个DAG。

我们在压缩后的路径上跳是\(O(1)\)的，这就是KMP 自动机。