关于中国剩余定理

为了复习某些数论……

经典求解同余方程，拓展Eculid是基础（需要求逆），除非想直接背程序的，都要先去看这个

网上证明比较多，我是之前看的NOI导刊上的

总结如下:（引用自qywyh，仅文字）

问题简单来说就是 a = ai (mod ni)   求未知数a,
 以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:
      设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有:  a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:
      对于 a=ai  (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义 mi = n1*n2*...nk / ni;   ci = mi(mf  mod ni);   其中 mi*mf  mod ni = 1;
         则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck)      (mod n)      (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:
                     mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

 

//?=1(mod ai) ai*x+1=? ai*x-?=1 by lcj2018
program sunzi;
var
 i,n:integer;
 x,y,m,ans,mi:longint;
 a,c:array [1..1000] of integer;
procedure eculid(a,b:longint);
var
 t:longint;
begin
 if b=0 then begin
  x:=1;y:=0;exit;
 end;
 eculid(b,a mod b);
 t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y;
end;
begin
 readln(n);
 for i:=1 to n do readln(a[i],c[i]);
 m:=1;ans:=0;
 for i:=1 to n do m:=m*a[i];
 for i:=1 to n do begin
  x:=0;y:=0;
  mi:=m div a[i];
  eculid(mi,a[i]);
  ans:=(ans+c[i]*mi*(x mod a[i])) mod m;
 end;
 writeln(ans);
end.

 

下面来一道例题 poj1006 生理周期

• 生理周期

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 105785		Accepted: 32777

Description

人 生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面 表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想 知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个 从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现 三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

采用以下格式：
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.


题目不是很难，可以省略扩展Eculid求逆过程，手算

program p1006;
var
 p,e,i,d,ans:integer;
 t:longint;
begin
 readln(p,e,i,d);
 t:=0;
 while (p<>-1) and (e<>-1) and (i<>-1) and (d<>-1) do begin
  ans:=(p*5544+e*14421+i*1288) mod 21252-d;inc(t);
  if ans<=0 then inc(ans,21252);
  writeln('Case ',t,': the next triple peak occurs in ',ans,' days.');
  readln(p,e,i,d);
 end;
end.