BZOJ 2878 【NOI2012】 迷失游乐园
题目链接:迷失游乐园
这道题也没有传说中的那么难写吗→_→
似乎有篇博客讲得特详细……附上链接:戳这里
如果这道题不是基环树,而就是一棵树的话,我们来考虑改怎么做。因为树上的路径只有向上、向下两种走法,于是我们可以记\(down_u\)表示从\(u\)往下走的期望长度,\(up_u\)表示从\(u\)往上走的期望长度,这就很好转移了。
显然对于一个点\(u\),设它的父亲为\(fa_u\),有\(son_u\)个孩子和\(num_u\)个父亲(根节点认为没有父亲),那么显然有:
\[down_u=\frac{\sum_{fa_v=u}down_v+dis(u,v)}{son_u}\]
这就是往各个孩子走的概率相等,于是求个平均值就可以了。
然后我们接着考虑\(up_u\)怎么求:
\[up_u=dis(fa_u,u)+\frac{up_{fa_u}\times num_u+down_{fa_u}\times son_{fa_u}-down_u-dis(fa_u,u)}{son_{fa_u}-1+num_{fa_u}}\]
因为我们下一步从\(u\)走到了\(fa_u\),那么之后一步可以往下也可以向上。往上走的总和就是\(up_{fa_u}\times num_u\),往下走的话由于不能走回头路,于是就用\(down_{fa_u}\times son_{fa_u}\)减去从\(u\)往下的\(down_u\)和从\(fa_u\)走过来的\(dis(fa_u,u)\)即可。由于期望相当于平均值,共有\(son_{fa_u}-1+num_{fa_u}\)种种情况,总和除以总情况数就是期望。
于是树的情况就做完辣!接下来让我们来考虑基环树的情况。
我们可以把基环树看成一个环上面长着许多棵大大小小的树。在这种情况下,我们发现每棵树的根节点也可以往上走了,并且在环上有两种走法。为了方便接下来的计算,我们可以先把环上每个点的\(down\)值给求出来。我们可以对于每个点,枚举它顺时针走到哪个点,那么在这个点往它的子树走的概率我们是可以递推算出来的,并且由于我们知道了每个点的\(down\)值,所以知道会向下走多远,于是就可以算出顺时针走的期望了。逆时针同理。于是我们就在\(O(环长^2)\)的时间内求出环上每个点的\(up\)值了。剩下的部分就是树的情况了,只不过对于每个环上的点\(x\)有\(num_x=2\),因为有往上有两种走法。
说了这么多,最后的答案就是:\[\sum_{i=1}^{n}\frac{up_i\times num_i+down_i\times son_i}{num_i+son_i}\]
代码也不长:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) #define maxn 100010 using namespace std; typedef double llg; int n,m,du[maxn],dis[maxn],hf[maxn];//hf[u]表示u有几个父亲,环上的点认为有两个父亲 int dfn[maxn],a[maxn],la,b[maxn],fa[maxn];//a数组中存的是环上的点,b[i]存的是a[i]与a[i-1]之间的距离 int head[maxn],next[maxn<<1],to[maxn<<1],c[maxn<<1],tt; llg dn[maxn],up[maxn],ans;//dn就是向下走的期望长度,up就是向上走的期望长度 bool vis[maxn]; int getint(){ int w=0;bool q=0; char c=getchar(); while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar(); if(c=='-') c=getchar(),q=1; while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w; } void link(int x,int y){ to[++tt]=y;next[tt]=head[x];head[x]=tt; to[++tt]=x;next[tt]=head[y];head[y]=tt; c[tt-1]=c[tt]=getint(); } void down(int u){//求向下的期望值 int cnt=0; vis[u]=1; for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i]) if(!vis[v]) dis[v]=c[i],down(v),cnt++,dn[u]+=dn[v]+c[i]; if(cnt) dn[u]/=cnt; du[u]=cnt; vis[u]=0; } void dfs(int u,int fa){//求向上的期望值 vis[u]=1; if(fa) hf[u]=1; if(fa>0) up[u]+=(up[fa]*hf[fa]+du[fa]*dn[fa]-dn[u]-dis[u])/(du[fa]-1+hf[fa]); for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i]) if(!vis[v]) up[v]+=c[i],dfs(v,u); } void getrt(int rt,int x){//抠环 for(int u=x;u!=fa[rt];u=fa[u])//dis[u]表示u向它的父亲走的距离 a[++la]=u,b[la+1]=dis[u],vis[u]=1,hf[u]=2; } void Tarjan(int u,int ff){//抠环 dfn[u]=++tt; fa[u]=ff; for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i]) if(!dfn[v]) dis[v]=c[i],Tarjan(v,u); else if(dfn[v]>dfn[u]) b[1]=c[i],getrt(u,v); } void solve(int u,int j,int z){//在环上走 llg now=0.5,di=0;//di即为在环上走过的距离,now为当前的概率 for(int i=1;i<la;i++){ if(z==-1) di+=b[j]; j+=z; if(j==la+1) j=1; if(j==0) j=la; if(z==1) di+=b[j]; if(i==la-1){up[u]+=now*(di+dn[a[j]]);} else up[u]+=now*du[a[j]]*(dn[a[j]]+di)/(du[a[j]]+1); now/=(du[a[j]]+1); } } void work(){//特殊处理环 tt=0; Tarjan(1,0); for(int i=1;i<=la;i++) down(a[i]),vis[a[i]]=1;//先求出环上每个点向下的期望 for(int i=1,u;u=a[i],i<=la;i++) solve(u,i,1),solve(u,i,-1);//正反两种走法在环上走 for(int i=1;i<=la;i++) dfs(a[i],0);//子树内求解向上走的期望值 } int main(){ File("park"); n=getint(); m=getint(); for(int i=1;i<=m;i++) link(getint(),getint()); if(m==n-1) down(1),dfs(1,0); else work(); for(int i=1;i<=n;i++) ans+=(up[i]*hf[i]+dn[i]*du[i])/(du[i]+hf[i]); printf("%.5lf",ans/n); return 0; }