二叉树

1 树的结构

 

1.1 树的概念：　

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

有一个特殊的节点叫根节点，根节点没有前驱。

其余节点被分成互不相交的集合，每个节点又是一颗与树类似的子树，每颗子树只有一个前驱，但可以有0或多个子树。

 

1.2 概念:

 1 节点的度：一个节点含有的子树个数为该节点的度。

 2 树的度：一颗树的最大节点的度。

 3 叶子节点或终端节点：度为0的节点为叶节点。

 4 分支节点或非终端节点：度不为0的节点。

 5  双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点这个节点为其的父节点。

 6 孩子节点或子节点： 一个节点含有子树的根节点为该节点的子节点。

 7 根节点：一棵树没有双亲节点（起始节点）。

 8 节点的层次：根为第一层，依次类推。

 9 树的高度或深度：节点的最大层次。

 

1.3 树的表现形式

     

 

 

2 二叉树

 

2.1 概念：

 

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉

树组成。

 

特点：1.每个节点最多有两颗子树度不能大于2。

           2.二叉树的子树有左右之分，子树顺序不能颠倒，二叉树是有序树。

 

2.2 二叉树的基本形态：

 

 

 从左到右依次为 空树，只有根节点的二叉树，只有左子树或者只有右子树的二叉树，左右子树都有的二叉树。

 

 

2.3 满二叉树和完全二叉树

 

 1 满二叉树： 一个二叉树每层节点都为最大值，就是满二叉树，如果一个树层数为K，且节点数是2^k-1，就是满二叉树。

 2 完全二叉树：对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称

 之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 

2.4二叉树的性质：

 

1 若根节点层数为1，则非空二叉树的第i层最多有2^i-1个节点。(i>0)

2 只有根节点的二叉树的深度为1，深度为K的二叉树最大节点数2^k-1。（k>0）

3  对任何一个二叉树，其叶节点个数为n0，度为2的非叶节点个数为n2，则n0=n2+1。

4 有n个节点的完全二叉树它的深度k为log₂（n+1）    2^k=n+1

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i

的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

 

 

2.5二叉树的储存

 

二叉树的链式存储是通过一个个的节点引用起来的，常见有二叉和三叉的表示方法

 

二叉(孩子表示法)

class BTNode{
    public char val; //数据域
    public BTNode left; //左引用  左子树
    public BTNode right; //有引用 右子树

    public BTNode(char val) {
        this.val = val;
    }
}

 

 

三叉（孩子双亲表示法）

class BTNode{
    public char val;  //数据域
    public BTNode left; //左子树
    public BTNode right; //右子树
    public BTNode parent;  //当前节点的根节点
    public BTNode(char val) {
        this.val = val;
    }
}

 

 

 2.6二叉树的基本操作

 

2.6.1二叉树的遍历

 

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。 

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

 

 

                                                       

 

 

二叉树练习题

 

 

获取树中节点的个数

public int size3(TreeNode root){
       if (root==null)return 0;
       return size3(root.left)+size3(root.right)+1;
    }

 

获取叶子节点的个数

public int getLifeNodecount2(TreeNode root){
       if (root==null)return 0;
       if (root.left==null && root.right==null){
           return 1;
       }
       return getLifeNodecount2(root.left)+getLifeNodecount1(root.right);
    }

 获取K层节点的个数

 

 public int getLevelCount(TreeNode root,int k){
       if (root==null||k<=0){
           return 0;
       }if (k==1){
           return 1;
       }
       return getLevelCount(root.left,k-1)+getLevelCount(root.right,k-1);
    }

 获取二叉树的高度

  public int getHeight(TreeNode root){
        if (root==null){
            return 0;
        }
        int left =getHeight(root.left);
        int right =getHeight(root.right);
      return left<right?right+1:left+1;

 

 检测值为value的元素是否存在

public TreeNode ifLive1(TreeNode root,char val){
       if (root==null){
           return null;
       }
       if (root.val==val){
           return root;
       }
    TreeNode ret =ifLive(root.left,val);
       if (ret!=null){
           return ret;
       }
       ret=ifLive(root.right,val);
        if (ret!=null){
            return ret;
        }
        return null;
    }

 检测一颗二叉树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) return false;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            if (cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            } else {
                break;
            }
        }
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode tmp = queue.poll();
            if (tmp != null) {
                return false;
            }
            queue.poll();
        }
        return true;
    }