题解 SP10606 【BALNUM - Balanced Numbers】

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算法：数位 \(dp\)

不熟悉数位 \(dp\) 的同学可以看一下洛谷日报第 84 期

“求出在给定区间 \([A,B]\) 内，符合条件 \(f(i)\) 的数 \(i\) 的个数。条件 \(f(i)\) 一般与数的大小无关，而与数的组成有关。”根据日报中给出的数位 \(dp\) 的基本模板，容易想到这是一道数位 \(dp\) 。

根据题意，要记录当前某一个数码是否出现过，以及出现次数。

由于只关心出现次数的奇偶性，可以使用压缩的一个二进制数 \(sta\) （ \(state\) 的缩写）表示，某一位上的 \(1\) 表示出现了奇数次，\(0\) 表示出现了偶数次。但这里存在一个问题，\(0\) 既可以表示出现了偶数次，也可以表示没有出现 （0 也是偶数（雾）） ，为了解决这个问题，可以再开一个变量 \(apr\) （ \(appear\) 的缩写）表示某一个数码是否出现过，同理，\(1\) 表示出现过，\(0\) 表示没出现过。

由于数字 \(0\) 的特殊性，我们还要开一个变量，标记当前的 \(0\) 是不是前导 \(0\) 。如果是前导 \(0\) ,那么是不需要统计到出现的 \(0\) 的个数的，否则需要统计。如果上一位是前导 \(0\)，并且这一位也是 \(0\)，那么还是前导 \(0\)，否则是数字中间的 \(0\)，需要记录。

code: （详细见代码）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long//懒惰做法 
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
using namespace std;
const int N=1.5e6;
int T,l,r,f[50];
int dp[30][N],num;
map<pair<int,int>,int> mp;//记录当前状态{sta,apr}是否出现过（用数组也可以） 
bool check(int sta,int apr) {
	F(i,0,9){
		if(apr&1<<i){//数码 i 出现过 
			if((i&1) and (sta&1<<i))return false;
			//i 是 奇数，且出现了奇数次 
			if(!(i&1) and !(sta&1<<i))return false;
			//i 是偶数，且出现了偶数次 
		}
	}
	return true;
}
int dfs(int pos,int sta,int apr,bool lim,bool pre) {
	//pos:当前dp从高到低第pos位数字 
	//lim：是不是存在最高位的限制
	//pre：判断上一位是不是前导0 
	if(!pos)return check(sta,apr);
	if(!lim and !pre and dp[pos][mp[{sta,apr}]]!=-1)return dp[pos][mp[{sta,apr}]];
	int s=0;
	for(int i=0; i<=(lim?f[pos]:9); i++) {
		bool ok=pre&&(!i);
		s+=dfs(pos-1,ok?sta:sta^(1<<i),ok?apr:apr|(1<<i),lim and i==f[pos],ok);
		//不是前导0时，sta中第i位要 ^1 （1变0,0变1），apr中记录数码i出现过 
	}
	if(!lim and !pre)mp[{sta,apr}]=++num,dp[pos][num]=s;
	return s;
}
int solve(int x) {//板子 
	int cnt=0;
	while(x)f[++cnt]=x%10,x/=10;
	return dfs(cnt,0,0,1,1);
}
signed main() {//用 signed 可以使define int long long不会爆掉
	memset(dp,-1,sizeof(dp));//初始化 -1 代表没搜过 
	scanf("%lld",&T);
	while(T--) {
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
	}
	return 0;
}

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