何为迭代法

一、何为迭代法

1. 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
2. a.确定迭代变量（本题可设 x[x+1]为x、x1为x[n]）
3. b.建立迭代关系式(本题为 X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2)
4. c.对迭代过程加以控制（本题为 while(fabs(x-x1)>1E-5)）

二、何为牛顿迭代法

1. 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
2. 公式即为 X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2

有了上述准备我们就可以来做题了，话不多说，附上代码：

1. #include"stdio.h"
2. #include"math.h"
3. int main()
4. {
5. int a;
6. double x=1.0,x1;
7. scanf("%d",&a);
8. while(fabs(x-x1)>1e-5) //判断结束条件
9. {
10. x1=x;
11. x=(x1+a/x1)/2;
12. }
13. printf("%0.3lf",x);
14. return 0;
15. }

但在这里我还想给大家拓展一下：
hearts;我们已经介绍过牛顿迭代法是一般用来近似求解方程的，与之对应的还有二分法求解。比较典型的例题是求该方程的根：2X^3-4X^2+3X-6=0

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1. 用牛顿迭代法求下面方程在1.5附近的根：2x^3-4x^2+3x-6=0

1. #include<stdio.h>
2. #include<math.h>
3. int main()
4. {
5. int i=0;
6. double x1=1.5,x2=0;//迭代初值
7. while (fabs(x2-x1)>=1e-5)
8. {
9. x1=x1-(2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6)/(6*x1*x1-8*x1+3);
10. x2=x1-(2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6)/(6*x1*x1-8*x1+3);
12. i++;
13. printf("第%d次迭代 x1=%9.8f\tx2=%9.8f\n",i,x1,x2);
14. }
15. printf("\nx=%9.8f\t共迭代:%d次\n",x2,i);
16. return 0;
17. }

2.用二分法求下面方程在（-10，10）之间的根：2x^3-4x^2+3x-6=0

2. #include <stdio.h>
3. #include <math.h>
4. int main()
5. {
6. float left,right,mid;
7. float fleft, fright,fmid;
9. left=-10.;
10. right=10.;
11. mid=(left+right)/2;
12. fmid=2*mid*mid*mid-4*mid*mid+3*mid-6;
15. while(fabs(fmid)>1e-6)
16. {
17. fleft=2*left*left*left-4*left*left+3*left-6;
18. fright=2*right*right*right-4*right*right+3*right-6;
20. if(fleft*fmid>0)
21. left=mid;
22. else
23. right=mid;
25. mid=(left+right)/2;
26. fmid=2*mid*mid*mid-4*mid*mid+3*mid-6;
27. }
29. printf("%.2f\n",mid);
31. return 0;
32. }

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