数分笔记2
数项级数
设 \(\{a_n\}\) 是一个实数列，则称 \(a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\) 为一个无穷（数项）级数，简称为级数，简记作 \(\sum_\limits{n=1}^\limits{+\infin}a_n\) 或 \(\sum a_n\).（表达式被称为级数，数列应该有可数个数，有限多项相加可以看作后面加了 \(0\) 的无穷级数，双边数列 \(\sum_\limits{n=-\infin}^\limits{+\infin}a_n\)）
\(\forall n\in \Z^+\)，称 \(\sum_{k=1}^na_k\) 为级数 \(\sum a_n\) 的前 \(n\) 项和（或第 \(n\) 个部分和），记作 \(S_n\left(=\sum_{k=1}^na_k\right)\)，称数列 \(\{S_n\}\) 是 \(\sum a_n\) 的部分和数列。
敛散性
定义·敛散性
若 \(\sum a_n\) 的部分和数列 \(\{S_n\}\) 收敛，则称 \(\sum a_n\) 收敛。
\(\sum a_n\) 收敛时，若 \(\lim_{n\to +\infin} S_n=S\in\R\)，则称 \(\sum a_n\) 的和为 \(S\)；否则，称 \(\sum a_n\) 发散。
例：等比级数（几何级数）
设 \(a\in\R-\{0\},q\in\R\)（约定 \(0^0=1\)）
称 \(\sum_{n=1}^{+\infin}aq^{n-1}\) 为一个等比级数。
当 \(|q|<1\) 时，\(\lim_{n\to+\infin}S_n=\frac{a}{1-q}\)，故此时 \(\sum aq^{n-1}\) 收敛于 \(\frac{a}{1-q}\)；当 \(|q|\ge 1\) 时，\(\sum aq^{n-1}\) 发散。
定理（级数 \(\sum a_n\) 的 Cauchy 收敛准测）
例：\(p\)-级数（\(p>0\)，实常数）
-
\(p=1\) 时，称 \(\sum\frac1n\) 为调和级数
用 Cauchy 收敛准则证明发散：
\(\exist \epsilon_0=\frac14,\forall N\in\Z^+,\exist n_N=2N,p_N=N\)，使得：
\[|\frac1{2N+1}+\dots+\frac{1}{3N}|\ge N \times \frac{1}{3N}>\epsilon_0=\frac1{4} \] -
若 \(p\in(0,1)\)，则 \(\forall n\in\Z^+,\frac{1}{n^p}\ge \frac1n\)，故此时，\(\sum\frac1{n^p}\)发散。
-
若 \(p>1\)，\(S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^p}\).
\(x^{-p}\) 在 \([n,n+1]\) 上 \(\downarrow\)，所以 \(n^{-p}\le x^{-p},\forall x\in[n-1,n]\)
\[ \begin{aligned} &\int_{n-1}^{n}n^{-p}\mathrm dx\le\int_{n-1}^{n}x^{-p}\mathrm dx\Rightarrow n^{-p}\le\int_{n-1}^{n}x^{-p}\mathrm dx\\ \therefore&S_n\le1+\int_{1}^{n}x^{-p}\mathrm dx=1+\frac{n^{1-p}-1}{1-p}<1+\frac{1}{p-1}=\frac{p}{p-1} \end{aligned} \]所以 \(S_n\) 单增有上界，故收敛。
-
\(p=2\) 时：
\[\sum \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \]
命题·“线性性”
设 \(\sum a_n,\sum b_n\) 收敛，\(c,d\in\R\)，则 \(\sum(c\cdot a_n+d\cdot b_n)\) 也收敛，且 \(\sum(c\cdot a_n+d\cdot b_n)的和\) 等于 \(c\cdot\left(\sum a_n 的和\right)+d\cdot \left(\sum b_n 的和\right)\)。（严格来说无穷级数只是表达式，但是也可以不写 的和）
换句话说，当 \(\sum a_n\) 收敛时，具有某种线性性。
定义·余项
若 \(\sum a_n\) 收敛于 \(S\)，则称 \(r_n=S-\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=n+1}^{+\infin}a_k\) 为 \(\sum a_n\) 的第 \(k\) 个余项。
正项级数
定义·正项级数
设 \(\sum a_n\) 是一个级数，若 \(\forall n\in\Z^+,a_n\ge 0\)，则称 \(\sum a_n\) 为一个正项级数；若 \(a_n>0\)，则称为严格正项级数。
定理·正项数列收敛的充要条件
设 \(\sum a_n\) 是一个正项级数，则 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\{\sum_{k=1}^{n}a_n\}\) 有上界。
定理（比较原则）
设 \(\sum a_n,\sum b_n\) 是两个正项级数，
若 \(\exist k>0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N\) 有 \(a_n\le kb_n\)，则有：
- 若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 也收敛。
- 若 \(\sum a_n\) 发散，则 \(\sum b_n\) 也发散。
推论（比较判别法的极限形式）：设 \(\sum a_n\) 为正项级数，\(\sum b_n\) 为严格正项级数，且 \(\lim_{n\to+\infin}\frac{a_n}{b_n}=l\)，则有：
-
若 \(l\in(0,+\infin)\)，则 \(\sum a_n\) 与 \(\sum b_n\) 同敛散：
可以证明 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N,a_n<\frac{3l}{2}b_n,b_n<\frac{2}{l}a_n\) 从而上述结论成立。
例：
\[\lim_{n\to +\infin}\frac{\frac{1}{2^n-n}}{\frac{1}{2^n}}=1\Rightarrow同收敛\\ \lim_{n\to +\infin}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1\Rightarrow 同发散\\ \] -
若 \(l=0\)，则若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 也收敛：
可证 \(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1,\frac{a_n}{b_n}<1\).
-
若 \(l=+\infin\)，则若 \(\sum b_n\) 发散，则 \(\sum a_n\) 也发散：
可证 \(\forall G>0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N\) 有 \(\frac{a_n}{G}>b_n\).
D'Alembert（达朗贝尔判别法）（比式（比值）判别法）
设 \(\sum a_n\) 是一个严格正项级数，若 \(\exist N_0\in \Z^+\)，及常数 \(q\in(0,1)\)，使得：
-
\(\forall n>N_0\)，成立 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\le q\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
证：任取 \(m>N_0\)，\(\frac{a_{m+1}}{a_{N_0+1}}\le q^{m-N_0}\)，故 \(a_{m+1}\le a_{N_0+1}q^{1-N_0}q^{m-1}\)，其中 \(a_{N_0+1}q^{1-N_0}\) 是常数，右边收敛。
-
\(\forall n>N_0\)，成立 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\)，则 \(\sum a_n\) 发散：
显然，因为 \(a_n\ge a_{N_0}>0\).
推论：（比式判别法的极限形式）
设 \(\lim_{n\to +\infin}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\)，则有
-
若 \(0\le l<1\)，则 \(\sum a_n\) 必收敛
取 \(\epsilon=\frac{1-l}{2}>0\)，则 \(\exist N_0\in\Z^+,\forall n>N_0\)，有 \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}-l\right|<\frac{1-l}{2}\)，所以 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}<l+\frac{1-l}{2}=\frac{1+l}{2}<1\).
-
若 \(1<l<+\infin\) 或 \(l=+\infin\)，则 \(\sum a_n\) 必发散。
取 \(\epsilon=\frac{l-1}{2}\)，其余类似。
-
若 \(l=1\)，则需进一步判定：
例 \(a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{1}{n^2}\) 均满足第三点，但前者发散后者收敛。
例：设 \(x>0\) 为实常数，讨论 \(\sum nx^{n-1}\) 的敛散性.
解：令 \(a_n = nx^{n-1}\)，有：
于是由比式判别法得：当 \(x<1\) 时，\(\sum nx^{n-1}\) 收敛。当 \(x>1\) 时，发散。当 \(x=1\) 时，\(\sum n\) 发散。
柯西判别法（根式判别法）
比比式判别法更强（见例 7）
设 \(\sum a_n\) 为正项级数，若 \(\exist N_0\in\Z^+\) 及常数 \(l\)，则有
- 又若 \(\forall n > N_0\)，成立 \(\sqrt[n]{a_n}\le l < 1\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
- 又若 \(\forall n>N_0\)，成立 \(\sqrt[n]{a_n}\ge 1\)，则 \(\sum a_n\) 发散。
根式判别法的极限形式：设 \(\sum a_n\) 为正项级数，且 \(\lim_{n\to +\infin}\sqrt[n]{a_n}=l\)，则有：
- 若 \(0\le l < 1\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
- 若 \(l > 1\) 或 \(l=+\infin\)，则 \(\sum a_n\) 发散。
- 若 \(l = 1\)，则需进一步判定。
例 7：讨论 \(\sum\frac{2+(-1)^n}{2^n}\) 的敛散性。
解：令 \(a_n=\frac{2+(-1)^n}{2^n}\)，则有：
夹逼法可得 \(\lim_{n\to+\infin}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}\)，故收敛。
积分判别法
设 \(f\) 在 \([1,+\infin)\) 上单调递减，则正项级数 \(\sum f(n)\) 与反常积分 \(\int_1^{+\infin} f(x)\mathrm dx\) 同敛散。
（可用于证明 \(p\) 级数 \(\sum\frac1{n^p}\) 的敛散性）
证：\(\sum f(n)\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛
\(\because f\) 在 \((0,+\infin)\) 单减，所以 \(\forall A>1\)，\(f\) 在 \([1,A]\) 上可积.
且有 \(\forall n=2,3,\dots\)，有 \(f(n)\le \int_{n-1}^{n}f(x)\mathrm dx\le f(n-1)\).
任取 \(m=3\in\Z^+-\{1\}\)，有 \(\sum_{n=2}^{m}f(n)\le \int_{1}^{m}f(x)\mathrm dx\le \sum_{n=1}^{m-1}f(n)\).
设 \(\sum f(n)\) 的部分和为 \(S_m=\sum_{n=1}^{m}f(n)\)，由上述不等式得：
\[S_m-f(1)\le \int_1^m f(x)\mathrm dx\le S_{m-1},m\in[2,+\infin)\cap\Z\\ \]从而有：
- 若 \(\int_1^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛于 \(\tilde J\in\R\)，则 \(\forall m\ge 2,S_m\le f(1)+\int_1^{m}f(x)\mathrm dx\)（不妨设 \(f\) 非负，其实有负数也可证），\(S_m\le \tilde J+f(1)\)，则 \(\sum f(n)\) 收敛（\(S_m\) 单增有上界）。
- 若 \(\sum f(n)\) 收敛，设 \(S_m\to \tilde S\)，\(\int _1^{m}f(x)\mathrm dx\le S_{m-1}\le S\)，单增有上限收敛。
收敛与发散的“快慢”问题
-
收敛：
设 \(\sum c_n,\sum\tilde c_n\) 是两个收敛的严格正项级数。
定义：若 \(\sum \tilde c_n\) 的余项数列 \(\{\tilde R_n\}\) 比起 \(\sum c_n\) 的余项数列 \(\{R_n\}\) 是更低阶的无穷小量，即
\[\lim_{n\to+\infin}\frac{R_n}{\tilde R_n}=0 \]则称 \(\sum \tilde c_n\) 比 \(\sum c_n\) 收敛得更慢。
构造比已有收敛的严格正项级数 \(\sum c_n\) 收敛得更慢的正项级数：
设 \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infin}c_n(n\ge 0)\)，
\(\forall n\in \Z^+,\tilde c_n = \sqrt{R_{n-1}}-\sqrt{R_n}\)，\(\sum_{n=1}^{+\infin}\tilde c_n\) 收敛于 \(\sqrt{R_0}\)。
\(\tilde S_n=\sqrt{R_0}-\sqrt{R_n},\tilde R_n=\sqrt{R_n}\)，因此 \(\sum\tilde c_n\) 收敛更“慢”。
-
发散：
设 \(\sum d_n,\sum \tilde d_n\) 是两个发散的严格正项级数，部分和数列分别记作 \(D_n,\tilde D_n\).
定义：若 \(\{\tilde D_n\}\) 是比 \(\{D_n\}\) 更低阶的无穷大量，即
\[\lim_{n\to +\infin}\frac{\tilde D_n}{D_n}=0 \]则称 \(\sum \tilde d_n\) 比 \(\sum d_n\) 发散得更慢。
构造发散得更慢的严格正项级数：\(\tilde D_n=\sqrt{D_n}\).
一般项级数
交错级数
设 \(\{u_n\}\) 是一个正项数列，则称 \(\sum(-1)^{n-1}u_n\) 或 \(\sum(-1)^{n}u_n\) 为交错级数。
莱布尼兹判别法
设 \(u_n>0\)，\(\sum (-1)^{n-1}u_n\) 是一个交错级数，满足：
- \(\{u_n\}\) 单调递减.
- \(\lim_{n\to+\infin}u_n=0\).
则 \(\sum(-1)^{n-1}u_n\) 收敛。（反之不一定成立）
证：设 \(\sum (-1^{n-1})u_n\) 的部分和数列是 \(\{S_n\}\).
所以 \(\{S_{2m}\},\{S_{2m-1}\}\) 均有界。
又 \(\{S_{2m}\}\) 单调递增，\(\{S_{2m-1}\}\) 单调递减，由单调有界定理知，二者均收敛，设 \(\lim_{m\to+\infin}S_{2m-1}=S\)，则 \(\lim_{m\to+\infin}S_{2m}=\lim_{m\to+\infin}(S_{2m-1}-u_{2m})=S-0=S\).
于是知 \(\{S_n\}\) 收敛，且 \(\lim_{n\to+\infin}S_n=S\)，得证。
余项估计：
例：\(1-\frac{1}2+\frac13-\frac14+\dots=\ln2\).
绝对收敛
设 \(\sum a_n\) 是一个无穷级数
-
若 \(\sum|a_n|\) 收敛，则称 \(\sum a_n\) 绝对收敛。
命题：若 \(\sum a_n\) 绝对收敛，则 \(\sum a_n\) 收敛。
例：\(\sum(-1)^{n-1}\frac1{n^2}\).
-
若 \(\sum|a_n|\) 发散，而 \(\sum a_n\) 收敛，则称 \(\sum a_n\) 是条件收敛的。
例：\(\sum (-1)^{n-1}\frac1n\).
级数的重排
-
定义：设 \(\sigma:\Z^+\to\Z^+\) 是一个双射，称 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 是 \(\sum a_{n}\) 的一个重排。
-
定理（性质）若 \(\sum a_n\) 是绝对收敛的，则 \(\sum a_n\) 的任意一个重排 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 也是绝对收敛的，且有 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 的和等于 \(\sum a_n\) 的和，简记作 \(\sum a_{\sigma(n)}=\sum a_n\).
证：
-
若 \(\sum a_n\) 为正项级数，且 \(\sum a_n\) 收敛，则
\(\forall N\in\Z^+\)，有 \(\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}\le \sum_{n=1}^{+\infin}a_n\)，故 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 也收敛，
从而 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 绝对收敛，且有 \(\sum_{k=1}^{+\infin} a_{\sigma(k)}\le \sum a_n\)，
又 \(\sum a_n\) 是 \(a_{\sigma(n)}\) 的一个重排，故 \(\sum a_n\le \sum a_{\sigma(n)}\)，从而有 \(\sum a_n=\sum a_{\sigma (n)}\).
-
设 \(\sum a_n\) 是一个绝对收敛的一般项级数，令 \(\forall n\in \Z^+,p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}\ge 0,q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}\ge 0\)，
从而有 \(a_n=p_n-q_n, |a_n|=p_n+q_n\)，且有 \(0\le p_n,q_n\le |a_n|\)，
从而知 \(\sum p_n,\sum q_n\) 均收敛。
设 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 是 \(\sum a_{n}\) 的任意一个重排，
于是有 \(\sum p_{\sigma (n)}\) 是 \(\sum p_n\) 的一个重排，\(\sum q_{\sigma(n)}\) 是 \(\sum q_n\) 的一个重排，
又 \(a_{\sigma(n)} = p_{\sigma(n)} - q_{\sigma(n)},|a_{\sigma(n)}|=p_{\sigma(n)} - q_{\sigma(n)}\)，
从而知 \(\sum p_{\sigma(n)},\sum q_{\sigma(n)}\) 收敛，且 \(\sum p_{\sigma(n)} = \sum p_n,\sum q_{\sigma(n)} = \sum q_{n}\)，
故 \(\sum |a_{\sigma(n)}|\) 收敛且 \(\sum a_{\sigma(n)} = \sum p_{\sigma(n)}-\sum q_{\sigma(n)}=\sum p_n-\sum q_{n} = \sum a_{n}\).
注意：条件收敛可能不成立！
例：\(\sum(-1)^{n-1}\frac1n=\ln 2\).
解：设 \(H_n=\sum_{i=1}^{n}\frac1k\)，则 \(\lim_{n\to +\infin} (H_n-\ln n) = c\)（欧拉常数），
令 \(\gamma_n = H_{n} - \ln n - c\)，则
\[\forall m\in \Z^+, \frac12+\frac14+\frac16+\dots+\frac1{2m}=\frac{1}2(\gamma_m+\ln m +c)\\ \forall k\in\Z^+,1+\frac13+\frac15+\dots+\frac{1}{2k-1}=H_{2k} - \frac12 H_k = \gamma_{2k}-\frac12\gamma_k+\ln 2+\frac12\ln k + \frac12 c \]先依次放 \(p\) 个正项，接着依次放 \(q\) 个负项（\(p,q\in\Z^+\)），
\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infin}\tilde a_n &= (1+\frac13+\dots+\frac{1}{2p-1})-(\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2q})\\ &+(\frac{1}{2p+1}+\dots+\frac{1}{4p-1})-(\frac{1}{2q+2}+\dots+\frac{1}{4q})\\ &+\dots\\ &+(\frac{1}{2(n-1)p+1}+\dots+\frac{1}{2np-1})-(\frac{1}{2(n-1)q+2}+\dots+\frac{1}{2nq})\\ &+\dots \end{aligned} \]因此有：
\[\begin{aligned} \tilde A_{2n} &= H_{2np} - \frac12 H_{np}-\frac12 H_{nq}\\ &=\gamma_{2np} - \frac12\gamma_{np}-\frac12\gamma_{nq}+\ln 2+\frac12\ln p-\frac12\ln q\\ &\to \ln\left(2\sqrt{\frac{p}{q}}\right),(n\to+\infin) \end{aligned} \] -
-
*黎曼定理：若 \(\sum a_n\) 条件收敛，则 \(\forall s\in\R\cup\{\pm\infin\},\exist \sum a_n\) 的一个重排 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 使得 \(\sum a_{\sigma(n)}=s\).
级数的乘积
设 \(\sum a_n,\sum b_n\) 是两个级数，
Cauchy 乘积：定义 \((\sum a_n)(\sum b_n)\triangleq\sum c_n\)，其中 \(c_n=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}\)，
“正方形”法则：\((\sum a_n)(\sum b_n)\triangleq\sum d_n\)，其中 \(d_n=\sum_{i=1}^{n-1}(a_ib_n+a_nb_i)+a_nb_n\).
Cauchy 定理：若 \(\sum a_n,\sum b_n\) 都绝对收敛，且 \(\sum a_n=A,\sum b_n = B\)，则 \(\sum w_n\)（其中 \(w_n\) 形如 \(a_ib_j\)，每个 \(a_ib_j\) 都恰好取一次）也绝对收敛，且 \(\sum w_n = A\cdot B\).
证：设 \(a_{i_k}b_{j_k}\) 是 \(a_ib_j(i=1,2,\dots,j=1,2,\dots)\) 的一个排列，令 \(w_k = a_{i_k}b_{j_k}\)，考察 \(\sum w_k\).
\(\forall n\in\Z^+\)，令 \(N_n = \max\{i_1,i_2,\dots,i_n,j_1,j_2,\dots,j_n\}\)，则有
所以 \(\sum w_k\) 是绝对收敛。
又 \(D_n=\sum a_n\cdot \sum b_n \to A\cdot B(n\to+\infin)\)，于是得证。
例：\(\forall x\in\R,\sum \frac{x^n}{n!}\) 绝对收敛，收敛于 \(e^x\).
例：\(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\) 与 \(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\) 的 Cauchy 乘积发散。
证：设 \((\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n})^2 = \sum c_n\)，其中：
又因为 \(\forall k = 1,2,\dots,n\) 满足 \(k(n+1)\le 2kn \le k^2+n^2\Rightarrow k(n-k+1)\le n^2\)，
故 \(|c_n|\ge 1\)，所以 \(\{c_n\}\) 不以 \(0\) 为极限，故 \(\sum c_n\) 发散。
Abel 变换
设 \(p\in\Z^+,p\ge z\)，又设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_p,\beta_1,\dots,\beta_p\in\R\)，\(\forall k=1,\dots,p\)，设 \(B_k = \sum_{i=1}^{k}\beta_i\)，则有（分部求和公式，非常重要！）：
比较：
Abel 引理
设 \(p\in\Z^+,p\ge 2\)，又设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\) 是一个单调数列，\(\beta_1,\dots,\beta_p\in\R\)，\(\forall k = 1,\dots,p\)，设 \(B_{k}=\sum_{i=1}^{k}\beta_i\)，且 \(\exist L > 0\) 使得 \(\forall k=1,\dots, p\)，有 \(|B_k|\le L\)，则有
证：
Direchlet 判别法
设数列 \(\{a_n\}\) 单调，且 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=0\)（极限趋于 \(0\)），又 \(\sum b_n\) 的部分和数列 \(\{B_n=\sum_{k=1}^{n}b_k\}\) 有界，则 \(\sum a_{n}b_n\) 必收敛。
证：因为 \(\{B_n\}\) 有界，所以 \(\exist M>0,\forall n\in\Z^+,|B_n|\le M\)，从而有 \(\forall n\in\Z^+,\forall p\in\Z^+\)，有
又因为 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=0\)，所以 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(|a_n|<\epsilon\)。
又 \(\{a_n\}\) 单调，由 Abel 引理得：
由数列的 Cauchy 收敛准则知 \(\sum a_nb_n\) 收敛。
例：
证：\(\frac{1}{n}\to 0\).
注意：\(\sum\frac{\sin n}{\sqrt n}\) 也可以同样推出收敛，但是平方后发散：
Abel 判别法
若 \(\sum b_n\) 收敛，\(\{a_n\}\) 单调有界，则 \(\sum a_nb_n\) 必收敛。
证：因为 \(\{a_n\}\) 单调有界，所以 \(\exist a\in\R\) 使得 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\)，\(\{a_n-a\}\) 单调收敛于 \(0\)，\(\sum b_n\) 收敛可知其部分和 \(\{B_n\}\) 有界。由 Direchlet 判别法知 \(\sum (a_n-a)b_n\) 收敛，又因为 \(a_nb_n=ab_n+(a_n-a)b_n\)，所以 \(\sum a_n b_n\) 收敛。
例：
函数列与函数项
函数列的一致收敛性及其判定
设 \(\{a_n(x),x\in E\}\) 是一个函数列，简记作 \(\{a_n(x)\}\).
若 \(x_0\in E\) 且 \(\{a_n(x_0)\}\) 收敛，则称 \(x_0\) 是 \(\{a_n(x),x\in E\}\) 的一个收敛点，称由 \(\{a_n(x), x\in E\}\) 的所有收敛点组成的集合为收敛域，记作 \(D\).
定义·点态收敛
\(\forall x\in D\)，令\(f(x)=\lim_{n\to +\infin} a_n(x)\)，称 \(f(x), x\in D\) 为 \(\{a_n(x)\}\) 的极限函数，同时称 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上点态收敛于 \(f(x)\).
例：\(a_n(x)=x^n,x\in \R,n=1,2,\dots\).
例：\(a_n(x) = \frac{\sin nx}{n},x\in\R,n=1,2,\dots\).
定义·一致收敛
设 \(\{a_n(x)\}\) 是一个定义在 \(D\) 上的函数列，\(f(x),x\in D\) 是一个函数，若 \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in D\) 都有 \(|a_n(x)-f(x)|<\epsilon\)，则称 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x),x\in D\).
记作 \(a_n(x)\overset{D}{\underset{(n\to+\infin)}{\rightrightarrows}} f(x)\).
例：证明 \(\frac{\sin(nx)}{n}\overset{\R}\rightrightarrows 0\).
一致收敛的否定形式：\(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N>N,\exist x_N\in D\)，有 \(|a_{n_N}(x_N)-f(x_N)|\ge\epsilon_0\)，则称 \(\{a_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\)（可以在一致收敛记号上打叉偷懒）。
例：证明 \(\{x^n,x\in(-1,1]\}\) 不一致收敛于 \(f(x)=\begin{cases}0&,x\in(-1,1)\\1&,x=1\end{cases}\).
证：\(\exist \epsilon_0=\frac{1}{5}>0,\forall N\in\Z^+\)，取 \(n_N=2N\)，取 \(x_N=1-\frac{1}{2N}\in(-1,1)\)，使得
\(\{a_n(x)\}\) 一致收敛的 Cauchy 准则
\(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n > N,\forall p\in Z^+,\forall x\in D\)，成立 \(|a_{n+p}(x)-a_n(x)|<\epsilon\).
证：
-
\(\Rightarrow\)：
\(a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)\)，由定义有：\(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in D\)，有 \(|a_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}2\).
从而有 \(|a_{n+p}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)，因此 \(|a_n(x)-a_{n+p}(x)|<\epsilon\).
-
\(\Leftarrow\)：
\(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n > N,\forall p\in \Z^+,\forall x\in D\)，有 \(|a_{n+p}(x)-a_{n}(x)|<\frac\epsilon2(*)\)，先固定 \(x\in D\)，则由数列收敛的 Cauchy 准则以及上述叙述有数列 \(\{a_n(x)\}\) 收敛，于是 \(\forall x\in D,f(x)\triangleq \lim_{n\to+\infin}a_n(x)\)，在 \((*)\) 式中，令 \(p\to+\infin\) 得：\(|f(x)-a_n(x)|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon\)，由一致收敛定义知，成立。
\(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛的两个充要条件
命题 1：设 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上点态收敛于 \(f(x)\)，则有
证：
-
\(\Rightarrow\)：
因为 \(a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)\)，所以 \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n > N,\forall x \in D\)，有 \(|a_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)，从而有
\[0\le\sup_{x\in D}|a_n(x)-f(x)|\le \frac{\epsilon}{2}<\epsilon \]从而有……成立。
-
\(\Leftarrow\)：（差不多是上面倒过来）
反例：\(a_n(x)=\frac{x}{n}\).（自动认为没有 \(\sup\)，也就不成立）。
命题 2：设 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上点态收敛于 \(f(x),x\in D\)（记作 \(a_n(x)\overset{D}\rightarrow f(x)\)），则有：
（逆否命题：\(\{a_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\) 等价于 \(\exist \{x_n\},x_n\in D,n=1,2,\dots\)，有 \([a_n(x_n)-f(x_n)]\) 不以 \(0\) 为极限。）
证：
-
\(\Rightarrow\)：由命题 1 可证。
-
\(\Leftarrow\)：用反证法。假设 \(\{a_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\)。
则有 \(\exist \epsilon_0 >0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N > N,\exist x_N\in D\)，使得 \(|a_{n_N}(x_{n_N})-f(x_{n_N})|\ge \epsilon_0\)，
\[N=1,\exist n_1>1,\exist x_{n_1}\in D,\texttt{s.t.}|a_{n_1}(x_{n_1})-f(x_{n_1})|\ge \epsilon_0\\ N=n_1,\exist n_2>n_1,\exist x_{n_2}\in D,\texttt{s.t.}|a_{n_2}(x_{n_2})-f(x_{n_2})|\ge \epsilon_0\\ N=n_2,\exist n_3>n_2,\exist x_{n_3}\in D,\texttt{s.t.}|a_{n_3}(x_{n_3})-f(x_{n_3})|\ge \epsilon_0\\ \dots \]（补全 \(\{x_k\}\) 中未被定义的部分，它们任取 \(D\) 中的值），则有 \(\{a_k(x_k)-f(x_k)\}\) 不以 \(0\) 为极限。
矛盾，故假设不成立。
例：\(a_n(x)=(1-x)x^n,x\in[0,1]\).
\(f(x)=0,x\in[0,1]\).
\(\forall n\in\Z^+,a'_n(x)=-x^n+n(1-x)x^{n-1}=0\Rightarrow x=\frac{n}{1+n}\).
\((1-\frac{n}{1+n})(\frac{n}{1+n})^n\to 0\)，故一致收敛。
定义·内闭一致收敛
若 \(\forall [\alpha,\beta]\sub I\)，\(\{a_n(x)\}\) 在区间 \(I\) 上均一致收敛，则称 \(\{a_n(x)\}\) 在区间 \(I\) 上内闭一致收敛。
（一致收敛 \(\Rightarrow\) 内闭一致收敛）
例 \(a_n(x)=x^n,x\in[0,1)\) 内闭一致收敛。
函数项级数
设 \(\{a_n(x),x\in E\}\) 是一个函数列，称 \(a_1(x)+a_2(x)+\dots+a_n(x)+\dots\) 是一个函数项级数，记作：
若 \(x_0\in E\) 且 \(\sum_{n=1}^{+\infin}a_n(x_0)\) 收敛，则称 \(x_0\) 为 \(\sum a_n(x)\) 的一个收敛点（否则称为“发散点”）。
称 \(\sum a_n(x)\) 的所有收敛点组成的集合为 \(\sum a_n(x)\) 的收敛域，记作 \(D\).
定义一个函数：
称 \(S(x),x\in D\) 为 \(\sum a_n(x)\) 的和函数。
称 \(\{S_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k(x),x\in E\}\) 为函数项级数 \(\sum a_n(x),x\in E\) 的部分和数列。
定义·点态收敛
若 \(S_n(x)\overset{D}\to S(x)\)，则称 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上点态收敛到 \(S(x)\).
定义·一致收敛
若 \(S_n(x)\overset{D}\rightrightarrows S(x)\)，则称 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛.（一般不说一致收敛到 \(S(x)\)，但也可以）
定义·内闭一致收敛
部分和函数列在一个区间的任意闭子区间都一致收敛，则称为函数项级数内闭一致收敛。
函数项级数一致收敛的 Cauchy 准则
\(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall \epsilon >0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N,\forall p\in\Z^+,\forall x\in D\)，有 \(|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k(x)|<\epsilon\).
\(\sum a_n(x)\) 一致收敛的一个必要条件：
若 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛，则 \(a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows 0\).
若 \(\sum a_n(x)\) 的和函数为 \(S(x),x\in D\)，则称 \(R_n(x)=S(x)-S_n(x)\) 为\(\sum a_n(x)\) 的（第 \(n\) 个）余项。
命题：设 \(\sum a_n(x)\) 的和函数为 \(S(x),x\in D\)，则有 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\Leftrightarrow\)：
函数项级数一致收敛性的若干判别法
\(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\exist n>N,\forall p\in \Z^+,\forall x\in D\)，成立 \(u_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)<\epsilon\).
-
Weierstrass 判别法：设 \(\sum u_n(x),x\in D\) 是一个函数项级数，且满足 $\exist $ 收敛的正项级数 \(\sum M_n\) 使得 \(\forall x\in D\)，有 \(|u_n(x)|\le M_n\)，则 \(\sum u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。
证明考虑 Cauchy 准则。
-
Abel 判别法：若
- \(\sum u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。
- \(\forall x\in I\)，数列 \(\{v_n(x)\}\) 单调。
- 函数项 \(\{v_n(x)\}\) 在 \(I\) 上一致有界，即 \(\exist M > 0,\forall n\in \Z^+,\forall x\in I\) 成立 \(|v_n(x)|\le M\).
则 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。
证：由 #1 知，\(\forall \epsilon >0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall p\in \Z^+,\forall x\in I\)，有
\[|u_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)|<\epsilon \]再由 #2 #3 和 Abel 引理有：
\[|u_{n+1}(x)v_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)v_{n+p}(x)|\\\le(|v_{n+1}(x)+2v_{n+p}(x)|)\epsilon<4M\epsilon \] -
Dirichlet 判别法：若
- \(\sum u_n(x)\) 的部分和函数列 \(\{S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)\}\) 在 \(I\) 上一致有界。
- \(\forall x\in I\) 数列 \(\{v_n(x)\}\) 单调。
- \(v_n(x)\overset{D}\rightrightarrows 0\)。
则 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。
证：由 #1 有 \(\exist M >0,\forall n\in\Z^+,\forall x\in I\)，有 \(|S_n(x)|\le M\)，从而有 \(\forall n\in\Z^+,\forall p\in \Z^+\)，有 \(|S_{n+p}(x)-S_{n}(x)|\le 2M\).
再由 #3 得 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in I\)，有 \(|v_n(x)|<\epsilon\).
最后由 #2 及 Abel 引理有对上述 \(\epsilon > 0\)，$\exist $ 上述的 \(N\in \Z^+\)，\(\forall n>N,\forall p\in\Z^+,\forall x\in I\)，有
\[|u_{n+1}(x)v_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)v_{n+p}(x)|\le (|v_{n+1}(x)|+2|v_{n+p}(x)|)\cdot 2M \]
命题：\(\sum\frac{\sin(nx)}{n}\) 在 \([0,2\pi]\) 上不一致收敛，但 \(\forall \alpha\in(0,\pi)\)，在 \([\alpha,2\pi-\alpha]\) 上一致收敛。
证 1：\(\forall n\in\Z^+\)，取 \(x_n=\frac{\pi}{6n}\)，有
取 \(\epsilon_0=\frac{1}{6},\forall N\in\Z^+\)，取 \(n_N=2N,p_N=N,x_N=\frac{\pi}{6N}\)，有
证 2：\(\forall x\in[\alpha,2\pi-\alpha]\)，有
与数列级数相似
Dirichlet：一个部分和一致有界，一个单调趋于 \(0\)。
Abel：一个部分和一致收敛，一个单调有界。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
定理：设 \(a,b\in\R,a<b,x_0\in(a,b)\)，设 \(I=(a,x_0)\cup(x_0,b)\)，已知 \(f_n(x)\overset{I}\rightrightarrows f(x)\)，且 \(\forall n\in\Z^+,\lim_{x\to x_0}f_n(x)=a_n\in\R\).
则有 \(\{a_n\}\) 收敛，且有 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=\lim_{x\to x_0}f(x)\).
（\(f_n\) 一致收敛的时候极限可以交换次序）
证明：先证 \(\{a_n\}\) 收敛，由 \(f_n(x)\overset I\rightrightarrows f(x)\)，有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n> N,\forall x\in I,\forall p\in\Z^+\)，有 \(|f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}\)。从而有
故 \(\{a_n\}\) 是一个 Cauchy 列，故 \(\{a_n\}\) 收敛，可设 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=A\in\R\)。
下证 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\).
由 \(f_n(x)\overset I\rightrightarrows f(x)\) 及 \(\lim_{n\to +\infin}a_n=A\)，有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in I\)，有
特别地，取 \(n=N+1\)，上述两个不等式也成立。又 \(\lim_{x\to x_0}f_{N+1}(x)=a_{N+1}\)，故对于上述的 \(\epsilon>0,\exist \delta>0,\forall x\in\mathring U(x,\delta)\in I\)，有 \(|f_{N+1}(x)-a_{N+1}|<\frac{\epsilon}{3}\)，则有 \(|f(x)-A|<\epsilon\).
函数列性质·连续性
若 \(f_n(x)\overset I\rightrightarrows f(x)\)，且 \(\forall n\in \Z^+,f_n(x)\) 在 \(I\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续。（\(\{x^n\},x\in[0,1]\) 不一致收敛。）
推论：若 \(\forall n\in\Z^+,f_n(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，且 \(\{f_n(x)\}\) 在 \(I\) 上内闭一致连续，则极限函数 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续。
函数项级数性质·连续性
若 \(\sum u_n(x)\) 在区间 \(I\) 上一致收敛，且 \(\sum u_n(x)\) 的“和”记为 \(S(x),x\in I\)，又 \(\forall n\in\Z^+,u_n(x)\) 在 \(I\) 上连续，则 \(S(x)\) 在 \(I\) 上连续。
函数列性质·可积性
\(a,b\in\R\)，若 \(f_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows f(x)\)，且 \(\forall n\in\Z^+,f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且有 \(\lim_{n\to+\infin}\int_a^bf_n(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx\).
证：令 \(S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),x\in[a,b]\)，由题意 \(S_n(x)\overset {[a,b]}\rightrightarrows S(x)\)，于是 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in[a,b]\)，有 \(|S_n(x)-S(x)|<\frac{\epsilon}2\)，由题意知，\(\forall n\in\Z^+,S_n(x)\) 可积。
任取 \([a,b]\) 的一个区间 \([\alpha,\beta]\)，\(m=\inf f_n([\alpha,\beta]),M=\sup f_n([\alpha,\beta])\)，\(f_n\) 在 \([\alpha,\beta]\) 的振幅 \(\omega=M-m\)，又记 \(\Omega\) 为 \(f(x)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上的振幅。
由 \(\forall x\in[\alpha,\beta],S_n(x)-\frac{\epsilon}2<S(x)<S_n(x)+\frac\epsilon2\)，得：\(\Omega\le\omega+\epsilon\).
现作 \([a,b]\) 的一个划分 \(\{[x_{i-1},x_{i}]\}|_{i=1}^m\)，设 \(S_n(x),S(x)\) 在第 \(i\) 个区间上的振幅分别为 \(\omega_i,\Omega_i\)，则有
由可积性定理可知，\(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。
令 \(\varphi(x)=S(x)-S_n(x),x\in[a,b]\)，由题意，\(\varphi(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows 0\)，由题意有：
由 \(\epsilon\) 的任意性知，\(\lim_{n\to+\infin}\int_a^b\varphi(x)\mathrm dx=0\)，即：
函数项级数性质·可积性
若函数项级数 \(\sum u_n\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，且 \(\forall n\in\Z^+,u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，若 \(\sum u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上的和函数为 \(S(x),x\in[a,b]\)，则 \(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上也可积，且有
函数列性质·可导性
\(\forall n\in\Z^+\)，设 \(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，\(x_0\in[a,b]\) 是函数列 \(\{f_n(x)\}\) 的一个收敛点，且 \(\{f_n'(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则有
设 \(a,b\in\R,a<b\)，\(\{f_n(x)\}\) 是 \([a,b]\) 上的可导函数。\(x_0\in[a,b]\) 是 \(\{f_n(x)\}\) 的一个收敛点，若 \(f'_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows g(x)\)，则存在定义在 \([a,b]\) 上的一个函数 \(f(x)\) 使得 \(f_n(x)\overset{[a,b]}{\rightrightarrows}f(x)\)，且有 \(\forall x\in(a,b),f'(x)=g(x),f'_+(a)=g(a),f'_-(b)=g(b)\).
证：由 \(\{f_n(x_0)\}\) 收敛及 \(f'_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows g(x)\)，有 \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall p\in\Z^+,\forall x\in[a,b]\)，有
在 \([a,b]\) 中任取两点 \(x\neq t,f_{n+p}(u)-f_n(u)\) 在 \([x,t]\) 或 \([t,x]\) 上用 Lagrange 中值 Th 得：
\(\exist \zeta\) 介于 \(x\) 和 \(t\) 之间使得：
所以 \(\forall x\in[a,b]\)，有
从而由 Cauchy 准则知，\(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，并可设 \(f_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows f(x)\).
任意取定 \(x\in(a,b)\)（注：当 \(x=a\) 或 \(x=b\) 时类似可证）。
\(\forall t\in[a,b]\) 且 \(t\neq x,\forall n\in\Z^+\)，令 \(\varphi_n(t)=\frac{f_n(t)-f_n(x)}{t-x},\varphi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\).
由 \(f_n\) 的可导性知，\(\forall n\in\Z^+,\lim_{t\to x}\varphi_n(t)=f'_n(x)\).
又 \(\forall n > N,\forall p\in\Z^+,\forall t\in[a,b]-\{x\}\)，有
从而知，\(\varphi_n(t)\) 在 \([a,b]-\{x\}\) 上一致收敛。
又 \(f_n(t)\overset{[a,b]}\rightrightarrows f(t),\forall t\in[a,b]-\{x\}\)，
从而有 \(\varphi_n(t)\overset{[a,b]-\{x\}}\rightrightarrows\varphi(t)\).
函数项级数性质·逐项可导性
设 \(\forall n\in\Z^+\)，设 \(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，\(x_0\in[a,b]\) 是 \(\sum u_n(x)\) 的一个收敛点，又 \(\sum u'_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则有（不要求证明）：
-
\(\sum u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛。
-
\[\forall x\in[a,b],\sum u'_n(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum u_n(x) \]
函数项级数性质·逐项可积性
设 \(\forall n\in\Z^+\)，\(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且 \(\sum u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则 \(\sum u_n(x)\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且有 \(\int_a^b\sum u_n(x)\mathrm dx=\sum \int_a^bu_n(x)\mathrm dx\).
//P39 例子，著名函数，\(\zeta\) 黎曼函数.
幂级数
（一类特殊的函数项级数）
设 \(x_0\in\R,\{a_n\}_{n=0}^{+\infin}\) 是一列实数，把形如 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n=a_0+\sum_{n=1}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n\) 的函数项级数称作幂级数。
统一变量替换：令 \(x-x_0=t,\sum_{n=0}^{+\infin}a_nt^n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n\)。
下面专门考察 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n(*),a_n\in\R(\forall n\in\N)\).
Abel（第一）定理
- 若 \(\exist \overline x\in\R-\{0\}\) 使得 \(\sum a_n\cdot (\overline x)^n\) 收敛，则 \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<|\overline x|\}\)，则 \(\sum a_n x^n\) 绝对收敛。
- 若 \(\exist \tilde x\in\R\)，使得 \(\sum a_n\cdot (\tilde x)^n\) 发散，则 \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|>|\tilde x|\}\)，有 \(\sum a_nx^n\) 发散。
证：
-
\(\because \sum a_n\cdot (\overline x)^n\) 收敛，\(\therefore \exist M>0,\forall n\in\N,|a_n\cdot (\overline x)^n|\le M\).
\(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<|\overline x|\}\)，令 \(q=\frac{|x|}{|\overline x|}\in[0,1)\)，\(\forall n\in\N\)，有
因而 \(\sum |a_n x^n|\) 收敛。
- 反证法 + #1 中的结论即可。
收敛半径的存在性定理
若 \((*)\) 的收敛域 \(\neq \{0\}\)，即 \(\exist \overline x\neq 0\) 使得 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\cdot(\overline x)^n\) 收敛；且 \((*)\) 的收敛域 \(\neq \R\)，即 \(\exist \tilde x\in\R\) 使得 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(\tilde x)^n\) 发散。
则必 \(\exist\) 正实数 \(R\)，使得：
- \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<R\},\sum a_nx^n\) 绝对收敛。
- \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|>R\},\sum a_nx^n\) 发散。
证：记 \((*)\) 的收敛域为 \(E\)。\(0\in E\)，则 \(E\) 非空。
又 \(E\cap(|\tilde x|,+\infin)=\varnothing\)，所以 \(\forall x\in E,|x|\le |\tilde x|\).
令 \(\sup E=R\in\R\)，因为 \(\frac{|\overline x|}{2}\in E\)，所以 \(R\ge \frac{|x|}{2}>0\)，下面证明 \(R\) 满足 #1 和 #2.
-
\(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<R\}\)，有 \(|x|<R\)，故 \(\exist x_1\in\R\) 使得 \(|x|<x_1<R\).
\(\because R=\sup E\)，所以 \(x_1\in E\)，故 \(\sum a_nx^n\) 绝对收敛，于是 \(\sum a_nx^n\) 收敛。？？
-
？？
定义：
- 若 \(E=\{0\}\)，则称 \((*)\) 的收敛半径为 \(0\).
- 若 \(E=\R\)，则称 \((*)\) 的收敛半径为 \(+\infin\).
- 否则，称 \((*)\) 的收敛半径为上述定理中的 \(R\in(0,+\infin)\).
例：
- \(\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^n}{n}\)，收敛域 \([-1,1)\)，收敛半径 \(R=1\).
- \(\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^n\frac{x^n}{n}\)，收敛域 \((-1,1]\)，收敛半径 \(R=1\).
- \(\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^n}{n^2}\)，收敛域 \([-1,1]\)，收敛半径 \(R=1\).
定理（柯西—阿达马 定理）
设 \(\rho=\overline{\lim_{n\to+\infin}}\sqrt[n]{|a_n|}\in[0,+\infin]\)（中括号没写错），则有
- 当 \(\rho= 0\) 时，\(R=+\infin\)；
- 当 \(\rho = +\infin\) 时，\(R=0\)；
- 当 \(\rho\in(0,+\infin)\) 时，\(R=\frac{1}{\rho}\).
- 若 \(|x|<R\)，则 \(q<1\)，\(\sum a_nx^n\) 绝对收敛。
- 若 \(|x|>R\)，则 \(q>1\)，\(\sum a_n x^n\) 发散。
命题：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，则 \(\sum a_nx^n\) 在 \((-R,R)\) 上内闭一致收敛。
证：任取 \([a,b]\in(-R,R)\)，令 \(r=\max\{|a|,|b|\}<R\)，则有
而 \(\sum a_nr^n\) 绝对收敛，由 Weierstrass 判别法知，一致收敛。
命题（Abel 第二定理）：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，若 \(\sum a_nR^n\) 收敛，则 \(\sum a_nx^n\) 在 \([0,R]\) 上一致收敛。
证：\(\because a_nx^n=\sum a_nR^n\left(\frac{x}{R}\right)^n\)，而 \(\sum a_nR^n\) 收敛，\(\forall x\in[0,R],\left(\frac{x}{R}\right)^n\) 单调。（\(R\) 可换为 \(-R\)）
所以由 Abel 判别法知，\(\sum a_nx^n\) 在 \([0,R]\) 上一致收敛。
幂级数的性质
-
连续性：
- 若 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，则 \(\sum a_nx^n\) 的和函数 $ S(x)$ 在 \((-R,R)\) 连续。
- 若 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\) 且 \(\sum a_nR^n\) 收敛，则 \(\sum a_nx^n\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \(x=R\) 处左连续。（\(R\) 可换为 \(-R\)）
-
可导性：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(S(x)\)（或许正确的语序是“其限制在 \((-R,R)\) 上的和函数为 \(S(x)\)”？），则 \(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内每点处均可导，且有 \(\forall x\in(-R,R),S'(x)=\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\)。
命题：设 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，又设其逐项求导后所得的幂级数为 \(\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\)，则有 \(\sum na_nx^{n-1}\) 收敛半径也为 \(R\).
“证”：
\[R=\frac{1}{\overline\lim\sqrt[n]{|a_n|}}\\ R'=\frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|(n+1)a_{n+1}|}} \]命题：设 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，又设 \(\sum _{n=0}^{+\infin}a_nx^n\) 逐项积分后所得幂级数为
\[\sum_{n=0}^{+\infin}\int_0^x a_nt^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{a_nx^{n+1}}{n+1} \]则其收敛半径也为 \(R\).
“证”：
\[R=\frac{1}{\overline\lim |a_n|^\frac{1}{n}}\\ \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|\frac{a_n}{n+1}}|}=R \]证明可导性：由刚才的命题知，\(\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\) 的收敛半径也为 \(R\)。
\(\forall x_0\in(-R,R)\)，可选 \(0<r<R\)，使得 \(x_0\in(-r,r)\)。
又 \(\sum a_nx^n\)，\(\sum na_nx^{n-1}\) 在 \([-r,r]\) 上一致收敛。
由函数项级数的一致收敛的可导性知，\(\sum a_nx^n\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，且有 \(S'(x_0)=\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\).
-
可积性：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，设其和函数为 \(S(x)\)，则 \(\forall [a,b]\sub(-R,R)\)，有
\[\int_{a}^bS(x)\mathrm dx=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\int_a^bt^n\mathrm dt=\sum \frac{a_n}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1}) \]特别地，有 \(\forall x\in(-R,R)\)，有
\[\int_0^xS(t)\mathrm dt=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \]推论 1：设 \(\sum a_n x^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(f(x)\)，则有 \(f(x)\) 在 \((-R,R)\) 上是任意阶可导的，且有：
\[\forall k\in\Z^+,f^{(k)}(x)=\sum n(n-1)\dots(n-k+1)a_nx^{n-k} \]推论 2：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R>0\)，其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(f(x)\)，则有 \(a_0=f(0)\)，且 \(\forall k\in\Z^+,f^{(k)}(0)=k!a_k\)，即 \(a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\).
幂级数的运算与收敛半径
命题：设 \(\sum a_nx^n\) 和 \(\sum b_n x^n\) 的收敛半径分别为 \(R_a>0,R_b>0\) 的幂级数，则
-
\(\forall \alpha<R\) 且 \(\alpha\neq 0\)，有 \(\sum \alpha a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R_a\)，且 \(\forall x\in(-R_a,R_a)\)，有 \(\sum \alpha\cdot a_nx^n=\alpha\sum a_nx^n\).
-
\(\forall \alpha,\beta\in\R\) 且 \(\alpha\beta\neq 0\)，有 \(\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^n\) 的收敛半径 \(\ge\min\{R_{\alpha},R_{\beta}\}\)，且 \(\forall x\in\R\)，且 \(|x|<\min\{R_\alpha,R_\beta\}\)，\(\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^n\) 绝对收敛且有
\[\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^n=\alpha\sum a_nx^n+\beta\sum b_nx^n \]
命题：设 \(\sum a_nx^n\) 和 \(\sum b_nx^n\) 为两个收敛半径分别为 \(R_a>0,R_b>0\) 的幂级数，则它们的 Cauchy 乘积 \(\sum c_n x^n\)（其中， \(c_n=\sum_{k=0}^{n} a_kb_{n-k}\)）。从而进一步有：\(\forall x\in\R,|x|<\min\{R_a,R_b\}\)，有
例：求 \(I=\sum_{n=0}^{+\infin}(-1)^n\frac{1}{2n+1}\) 求和。
解：
例：求 \(\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{x^n}{n!}\) 的和函数 \(f(x)\).
解：\(R=+\infin(\rho=\lim_{n\to+infin}\sqrt[n]{\frac1{n!}}=0)\)。
又有：
又 \(f(x)\neq 0\)，故：
函数的幂级数展开
若 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，设其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(f(x)\)，则 \(\forall x\in(-R,R)\)，有
问：假设给定一个包含 \(0\) 的开区间 \(I\sub \R\)，以及一个函数 \(f:I\to\R\)，
- \(f\) 应该具备什么样的条件才能“展开”为一个幂级数 \(\sum a_nx^n\)，即 \(\forall x\in I,f(x)=\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n\)？
- 如果 \(f\) 能够展开成一个幂级数，则其是否唯一？（是）
- 有哪些方法可以将函数展开成幂级数？
定义·能展开成幂级数
设 \(I\) 是一个开区间，\(x_0\in I,f:I\to\R\) 是一个函数。
若存在一个收敛半径 \(R>0\) 的幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 及 \(x_0\) 的一个邻域 \(U\sub I\)，使得，\(\forall x\in U,f(x)=\sum a_n(x-x_0)^n\)，则称 \(f\) 在 \(x=x_0\) 处能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)，如果 \(U=I\)，则称 \(f\) 在 \(I\) 上能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\).
设 \(I\) 是包含 \(0\) 的一个开区间，\(f:I\to \R\) 是一个函数。
若存在一个收敛半径 \(R>0\) 的幂级数 \(\sum a_nx^n\) 及 \(0\) 的一个邻域 \(U\sub I\)，使得，\(\forall x\in U,f(x)=\sum a_nx^n\)，则称 \(f\) 在 \(x=0\) 处能展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\)，如果 \(U=I\)，则称 \(f\) 在 \(I\) 上能展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\).
命题·展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\) 的一个必要条件
若 \(f:I\to\R\) 在 \(x=0\) 处可展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\)，则 \(f\) 在 \(x=0\) 处任意阶可导，且有：
从而有 \(\sum a_nx^n=\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)（幂级数展开式，并称其为 Maclaurin（麦克劳林）展开式）。
“展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 的一个必要条件”类似。最终展开为 \(\sum a_n(x-x_0)^n=\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)（幂级数展开式，并称其为 Taylor 展开式）。
定义·Taylor 级数
设 \(I\) 是一个开区间，\(x_0\in I\)，函数 \(f:I\to \R\) 在 \(I\) 上任意阶可导，则称 \(\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\) 为 \(f\) 在 \(x=x_0\) 处的 Taylor 级数。
称 \(x_0=0\) 时的 Taylor 级数为麦克劳林（Maclaurin）级数。
若 \(f:I\to\R\) 在开区间 \(I\) 上可展开称幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)（\(x_0\in I\)），则称 \(f:I\to\R\) 在 \(I\) 上是实解析的。
注意级数与展开式的区别，级数不要求收敛半径 \(R>0\)，且级数的和函数甚至可能不是原函数。
例：
的 Maclaurin 级数的收敛半径为 \(0\)。
例：\(f(x)=e^x\)，\(\forall n\in\Z^+,f^{(n)}(x)=e^x\)，从而 \(f^{(n)}(0)=1\)，\(f(x)=\sum\frac{x^n}{n!}\).
命题· \(f\) 能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 的一个充要条件
设 \(f:I\to\R\) 是一个函数，\(x_0\in I\)（开区间）。\(f\) 在 \(x_0\) 处任意阶可导，则 \(f\) 在 \(x=x_0\) 处能展开成 \(\sum\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_0)^n\)，当且仅当 \(\forall x\in U=(x_0-r,x_0+r)\)（其中 \(r>0\) 为常数），有 \(\lim_{n\to+\infin}R_n(x)=0\).
设 \(f:I\to\R\) 是一个函数，\(0\in I\)（开区间），已知 \(f\) 在 \(0\) 处任意阶可导，\(\forall x\in I,\forall n\in\N\)，令 \(f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\)，\(R_n(x)=f(x)-f_n(x)\)，则有下述命题成立：
\(f\) 在 \(I\) 上可展开成 Maclaurin 级数 \(\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{f^{(k)}(0)}{n!}x^n\) 等价于 \(\forall x\in I,\lim_{n\to+\infin}R_n(x)=0\).
证：\(\Rightarrow\)：
\(\because f\) 在 \(I\) 上可展开为 \(\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).
\(\therefore \sum_{n=0}^{+\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(x),\forall x\in I\).
\(\forall x\in I\)，由 \(R_n(x)=f(x)-f_n(x)\) 得
\(\Leftarrow\)：
\(\forall x\in I,0=\lim_{n\to+\infin}R_n(x)=\lim_{n\to+\infin}[f(x)-f_n(x)]\)，所以 \(f(x)=\lim_{n\to+\infin}f_n(x)=\sum \frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n\).
命题：\(f:I\to\R\) 是一个函数，\(0\in I\)（开区间），且 \(f\) 在 \(I\) 上任意阶可导，若 \(\exist M>0\)，使得 \(\forall x\in I,\forall n\in\N,|f^{(n)}(x)|\le M\)，则 \(f\) 在 \(I\) 上一定可以 展开成 Maclaurin 级数 \(\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).
证：由带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式有：
例：
例：\(f(x)=\ln(1+x)\overset{?}=\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},R=1\) 收敛域 \((-1,1]\).
\(\forall x\in[0,1]\)，用 Lagrange 型余项：
\(\forall x\in(-1,0)\)，用 Cauchy 型余项（见书 P52）
例：\(f(x)=(1+x)^{\alpha},\alpha\in\R-\N,x>-1\).
\(\forall x\in(-1,+\infin),f^{(n)}(x)=\alpha\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}\)，\(n=1,2,\dots\).
\(R=1\).
下证：\(\forall x\in(-1,1),R_n(x)\overset{n\to+\infin}\longrightarrow 0\).
Cauchy 型余项：
结论
- \(\alpha\le -1\) 时，\(x=\pm 1\) 均发散。
- \(\alpha\in(-1,0),x=-1\) 发散，\(x=1\) 收敛。
- \(\alpha>0,x=\pm 1\) 时均收敛。
Fourier 级数（傅立叶）
设 \(1,\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x),\dots,\cos(nx),\sin(nx),\dots\) 是一列三角函数（周期为 \(2\pi\)）且满足：
又 \(\forall n\in\Z^+\)，有 \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)\mathrm dx=\pi,\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)\mathrm dx=\pi\)，而 \(\int_{-\pi}^{\pi}1\mathrm dx = 2\pi\).
设 \(a_0,a_1,\dots,b_1,b_2,\dots\) 是两列实数，构造函数项级数
命题：若数项级数
收敛，则函数项级数
在 \(\R\) 上一致收敛。
命题：若函数项级数
在 \(\R\) 上一致收敛，其和函数为 \(f(x),x\in\R\)（\(f\) 可积），则有：
证：
取 \(m=0\)，有 \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm dx=\pi a_0\).
若 \(m\neq 0\)，则
同理，\(\forall m\in\Z^+\)，有
称 \(\{a_n\}_{n=0},\{b_n\}_{n=1}\) 为 \(f(x)\) 的 Fourier 系数（只要 \(f(x)\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积）
定义：若 \(a_0,a_1,\dots,b_1,b_2,\dots\) 是 \(f(x)\)（定义在 \(\R\) 上以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，且在 \([-\pi,\pi]\) 上可积）的 Fourier 系数，则称 \(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\) 为 \(f(x)\)（关于正交函数系 \(1,\cos x,\sin x,\dotsm\cos(nx),\sin(nx),\dots\)）的 Fourier 级数。
例：求函数
的 Fourier 系数和 Fourier 级数。
解：先将 \(f(x),x\in(-\pi,\pi]\) 周期延拓成定义在 \(\R\) 上的函数 \(\tilde f(x)\)：
有时仍记作：\(f(x),x\in\R\).
\(k\in\Z^+\) 固定，若 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 有连续的 \(k\) 阶导函数，则 \(f\) 是 \(C^k\) 光滑的，记作
例：\(C^\infin,C^\omega\).
收敛性定理
按段光滑：称 \(f\) 在 \([a,b]\) 上按段光滑，若 \(\exist[a,b]\) 的一个分割 \(P:a=x_0<x_1<\dots<x_l=b\)（\(l\in\Z^+\) 固定）， \(\forall i=1,\dots,l\)，记 \(I_i=[x_{i-1},x_i],\mathring I=(x_{i-1},x_{i})\)，\(f\) 在 \(\mathring I\) 有连续的导函数，且在每个分点的地方，左右极限、左右广义导数（广义右导数：\(\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0+)}{\Delta x}\)）存在（“左端点右存在”，“右端点左存在”）。
收敛性定理：若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上按段光滑，且 \(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\) 为 \(f\) 的 Fourier 级数（即 \(f\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\)），则 \(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上点态收敛于 \(\frac{f(x-)+f(x+)}{2}\).
命题：（Bessel（贝塞尔）不等式）若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上常义 Riemann 可积（去掉瑕积分之类的），且有 \(f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\)，则有下述 Bessel 不等式成立：
（其实是等号，即帕塞瓦尔等式，但是此处不证）
证：\(\forall m\in\Z^+\)，令 \(S_m(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^m[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\)，
从而：
令 \(m\to+\infin\) 得 Bessel 不等式。
推论：若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上常义 Riemann 可积，则有
更进一步有：
证明见书 P76.
命题（Dirichlet 核）：设 \(f(x)\) 是定义在 \(\R\) 上的以 \(2\pi\) 为周期的函数，且 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上可积，又 \(f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\)。
\(\forall m\in\Z^+\)，令 \(S_m(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{m}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\)，令
则有 \(\forall x\in[-\pi,\pi],\forall m\in\Z^+\)，
证：\(\forall m\in\Z^+,\forall x\in[-\pi,\pi]\)，
固定 \(x\)，令 \(u=t-x\)，则 \(\mathrm du=\mathrm dt,t=u+x\)，从而有
又有：
所以
所以
收敛性 Th
若 \(f\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上按段光滑，则 \(\forall x\in[-\pi,\pi]\)，\(\lim_{m\to+\infin}S_m(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]=\frac{f(x+)+f(x-)}{2}\)。
证：
（以证明 \(\lim_{m\to+\infin}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[ f(x+t)\frac{\sin[(m+\frac12)t]}{2\sin\frac t2}-\frac{f(x+)}2 \right]\mathrm dt=0\) 为例）
所以等价于证明
设
等价于证明
\(f\) 按段光滑，故 \(\varphi\) Riemann 可积，故由前文所述推论可知成立。
Fourier 级数展开的基本步骤
-
给定 \(f(x),x\in(-\pi,\pi]\)（或 \([-\pi,\pi],(-\pi,\pi),[-\pi,\pi)\)）；
-
（可省略）将 \(f\) 周期延拓成 \(\R\) 上的以 \(2\pi\) 为周期的周期函数；
-
利用 Fourier 系数公式
\[a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\mathrm dx,n=0,1,\dots\\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\mathrm dx,n=1,2,\dots \]算出所有 \(f\) 的 Fourier 系数 \(a_0,a_1,\dots,b_1,b_2,\dots\)；
-
写出“形式” Fourier 级数 \(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infin}[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]\)；
-
利用收敛性 Th 写出 \(f\) 的“形式” Fourier 级数的和函数。
例（课本 P64 例 1）：设 \(f(x)=\begin{cases}x&,x\in[0,\pi]\\0&,x\in(-\pi,0)\end{cases}\)，求 \(f\) 的 Fourier 展开式。
解：\(a_0=\frac\pi2\).
于是 \(f(x)\sim\dots=\begin{cases}f(x)&,x\in(-\pi,\pi)\\\frac{\pi}2&,x=\pi\end{cases}\).
设 \(f(x)\) 是定义在 \(\R\) 上周期为 \(T(>0)\) 的周期函数。
\(1,\cos\frac{2\pi x}{T},\sin\frac{2\pi x}{T},\dots,\cos\frac{2n\pi x}{T},\sin\frac{2n\pi x}{T},\dots\) 是 \([\frac{-T}{2},\frac{T}{2}]\) 上的一个正交函数系。
设 \(f(x)\) 还在 \([-\frac T2,\frac T2]\) 上可积。
令 \(F(x)=f(\frac{T}{2\pi}x)\)，则 \(F\) 周期为 \(2\pi\)。
（省略推导过程）
正弦级数：奇函数的 Fourier 级数，所有 \(a_n\) 都是 \(0\)。
余弦级数：偶函数的 Fourier 级数，所有 \(b_n\) 都是 \(0\)。
例： 把 \(f(x)=x,x\in(0,l),l>0\) 展开成：余弦级数（偶延拓）/正弦级数（奇延拓）。
偶延拓：
\(f(0)\) 随便定义，\(f(l)=f(-l)\) 也随便定义。
奇延拓：
\(f(0)\) 必须定义为 \(0\)，\(f(l)=f(-l)\)（随便定义？？？）
多元函数的极限与连续
设 \(m\in\Z^+,m\ge 2\)，\(\R^m=\{(x_1,\dots,x_m)|x_1,\dots,x_m\in\R\}\)，在 \(\R^m\) 上定义加法和数乘，是的 \((\R^m,+,\circ_\R)\) 成为实线性空间。
再在实线性空间 \(\R^m\) 上定义内积 \(<\cdot,\cdot>\) 使得 \((\R^m,+,\circ_\R,<\cdot,\cdot>)\) 成为一个 \(m\) 维欧几里得空间（欧氏空间），简记作 \(\R^m\)。
最后在 \(\R^m\) 上定义距离：
称 \((\R^m,d)\) 为距离空间。
称 \(\R^m\) 中的元素为点或 \(m\) 维向量。
设 \(P_0\) 维 \(\R^m\) 中的一点，\(\delta>0\) 为一个实常数。称点集 \(\{P\in\R^m|d(P,P_0)<\delta\}\) 为 \(P_0\) 的一个 \(\delta\) 邻域。
\(\R^m\) 中一些重要的点与点集
设 \(E\) 是 \(\R^m\) 的一个非空子集。
-
设 \(P_0\in\R^m\)，若 \(\exist \delta>0\) 使得 \(U(P_0;\delta)\sub E\)，则称 \(P_0\) 是 \(E\) 的一个内点。
称 \(E\) 的所有内点组成的集合为 \(E\) 的内部，记作 \(\mathring E\) 或 \(\operatorname{Int}(E)\)。
-
设 \(P_0\in\R^m\)，若 \(\exist \delta>0\) 使得 \(U(P_0;\delta)\cap E=\varnothing\)，则称 \(P_0\) 为 \(E\) 的一个外点。
称 \(E\) 的所有外点组成的集合为 \(E\) 的外部，记作 \(\operatorname{Ext}(E)\)。
-
设 \(P_0\in\R^m\)，若 \(\forall \delta>0\)，\(U(P_0;\delta)\cap E\neq \varnothing\) 且 \(U(P_0;\delta)\cap(\R^m-E)\neq \varnothing\)，则称 \(P_0\) 为 \(E\) 的边界点。
称 \(E\) 的所有边界点组成的集合为 \(E\) 的边界，记作 \(\operatorname{Bd}(E)\) 或 \(\operatorname{Fr}(E)\) 或 \(\part E\)（\(\part\) 读作“偏”，偏导的符号）。
我们有
\[\R^m=\operatorname{Int}(E)\cup \operatorname{Ext}(E)\cup\part E \]其中三个 \(\cup\) 都是无交并。
-
若 \(E\) 是 \(\R^m\) 上的一个非空子集且 \(E=\operatorname{Int} E\)，则称 \(E\) 是 \(\R^m\) 的一个开集。约定 \(\varnothing\) 为一个开集。
-
设 \(P_0\in\R^m\)，若 \(\exist E\) 中的一个两两不同的点列 \(\{P_n\}\)，使得 \(\lim_{n\to+\infin}d(P_n,P_0)=0\)，则称 \(P_0\) 是 \(E\) 的一个极限点。
若 \(\forall \delta>0,\mathring U(P_0;\delta)\cap E\neq \varnothing\)，则称 \(P_0\) 为 \(E\) 的一个聚点。
注：\(E\) 的聚点就是 \(E\) 的极限点。
若 \(P_0\in E\) 且 \(P_0\) 不是 \(E\) 的聚点，则称 \(P_0\) 为 \(E\) 的孤立点。
-
称 \(E\) 的所有聚点组成的集合为 \(E\) 的导集，记作 \(E'\)。称 \(E\) 的导集与 \(E\) 的并集为 \(E\) 的闭包，记作 \(\overline E\)。
-
若 \(E=\overline E\)（即 \(E'\sub E\)）（或 \(\R^m-E\) 为 \(\R^m\) 的开集），则称 \(E\) 是 \(\R^m\) 的一个闭集。
-
设 \(\varphi:[0,1]\to\R^m\\t\mapsto(\varphi_1(t),\dots,\varphi_m(t))\)，满足 \(\forall i=1,\dots,m\)，\(\varphi_i(t)\) 在 \([0,1]\) 上连续，则称 \(\varphi\)（或 \(\varphi([0,1])\)）是 \(\R^m\) 中连接 \(\varphi(0)\) 和 \(\varphi(1)\) 的一条道路。
若 \(\forall P_1,P_2\in E\)，\(\exist E\) 中的一条道路 \(\varphi\) 使得 \(\varphi(0)=P_1,\varphi(1)=P_2\)，则称 \(E\) 是道路连通的。
若 \(\forall P_1,P_2\in E\)，\(\exist E\) 中的一条折线连接 \(P_1,P_2\)，则称 \(E\) 是折线连通的。
-
若 \(E\) 是 \(\R^m\) 的一个非空开集且 \(E\) 是折线连通，则称 \(E\) 是 \(\R^m\) 的一个开域（开区域）。
-
称开域并上其边界为闭域。（一个闭圆盘长两根天线（与圆盘有交且不被圆盘包含的线段）不是闭域）
-
称开域、闭域或开域及其一部分边界为区域。
一个极其糟糕的例子：\(\R^2\) 中的一、三象限及坐标轴并不是一个闭域，因为一、三象限本身不是开域。
-
若 \(\exist M>0\) 使得 \(E\sub U(O;M)\)（其中 \(O\) 为 \(\R^m\) 的原点），则称 \(E\) 为 \(\R^m\) 中的一个有界集。
-
\(E\) 的直径
\[\operatorname{diam}(E)\triangleq\begin{cases} \sup S&,若\ S\ 有界\\ +\infin &,若\ S\ 无界 \end{cases} \]其中 \(S=\{d(P_1,P_2)|P_1,P_2\in E\}\)。
\(\R^m\) 中的完备性定理
Cauchy 准则
设 \(\{P_n\}\) 是 \(\R^m\) 中的一个点列，则有
（“柯西点列”）
闭集套 Th
设 \(\{D_n\}\) 是 \(\R^m\) 中的一列有界闭集，满足：
- \(\forall n\in\Z^+,D_{n+1}\sub D_n\).
- \(\lim_{n\to+\infin}\operatorname{diam}(D_n)=0\).
则存在唯一的一点 \(P_0\) 使得 \(\bigcap_{n=1}^{+\infin}D_n=\{P_0\}\)。
推论：若 \(\{D_n\}\) 满足上述闭集套 Th 的条件，则有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,D_n\sub U(P_0;\delta)\)。
聚点 Th
若 \(E\) 是 \(\R^m\) 中的一个无限点集，则 \(E\) 至少有一个聚点。
致密性 Th
有界点列 \(\{P_n\}\) 必有收敛子列。
有限覆盖 Th
设 \(D\) 是 \(\R^m\) 中的一个有界闭集，设 \(\{U_\alpha|\alpha\in\Lambda\}\) 是 \(D\) 的一个开覆盖（即 \(\forall \alpha\in\Lambda\)，\(U_{\alpha}\) 是 \(\R^m\) 的开集，且 \(\forall P\in D,\exist \alpha\in\Lambda\) 使得 \(P\in U_\alpha\)），则 \(\exist \{U_{\alpha}|\alpha\in\Lambda\}\) 中的有限个开集 \(U_{\alpha_1},\dots,U_{\alpha_k}\)（\(k\in \Z^+\) 常数）使得
多元函数（\(m\) 元实值函数）
设 \(D\) 是 \(\R^m\) 的一个非空子集，称映射 \(f:D\to\R\\(x_1,\dots,x_m)\mapsto f(x_1,\dots,x_m)\) 是一个 \(m\) 元实值函数。
空间解析几何简介
\(\R^3,\vec a=(x_1,y_1,z_1),\vec b=(x_2,y_2,z_2)\).
Oxyz:
平面：过一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 且垂直于 \(\vec n=(A,B,C)\neq (0,0,0)\)，可得平面方程（线代学过，略）。
空间直线：过一点 \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\)，且平行于 \(\vec v = (l,m,n)\neq (0,0,0)\) 可由叉积为 \(0\) 获得直线方程。
平面 \(\R^2\) 上的二次曲线，设 \(\R\)^2 上建立了笛卡尔坐标系 Oxy.
则方程 \(a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2b_1x+2b_2y+c=0\) 表示二次曲线（其中 \(a_{11},a_{12},a_{22}\) 不全为零）。
空间 \(\R^3\) 中的二次曲面：设 \(\R^3\) 上建立了一个笛卡尔坐标系 Oxyz.
则方程 \(a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2b_1x+2b_2y+2b_3z+c=0\) 表示二次曲面（其中二次项系数不全为 \(0\)）。
几个重要的二次曲面
-
椭球面
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \] -
单叶双曲面
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]（\(x,y,z\) 顺序可换）
-
双叶双曲面
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 \] -
二次锥面
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \] -
椭圆抛物面
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z \] -
双曲抛物面
\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z \]
空间曲面 Surface
例：
参数曲面
例如：球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2(R>0)\)，有一个参数表示为：
空间曲线 Curve
参数曲线：
二元函数的极限
又称为二重极限。
设 \(f:D\to\R\\(x,y)\to f(x,y)\) 是一个二元函数，\(D\) 是 \(\R^2\) 的一个非空子集，\(P_0(x_0,y_0)\) 是 \(D\) 的一个聚点（这可以说明 \(D\) 中元素至少是可数无穷多个），若 \(\exist A\in\R,\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall(x,y)\in\mathring U(P_0;\delta)\)，成立 \(|f(x,y)-A|<\epsilon\)，则称 \(f(x,y)\) 当 \((x,y)\)（沿着 \(D\)）趋向于 \(P_0(x_0,y_0)\) 时，以 \(A\) 为极限，记作：
（不引起混淆的情况下，\((x,y)\in D\) 可省）简记为：
例、证明：\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)=0\)（没写定义域默认为自然定义域）
证：\(\forall \epsilon>0,\exist \delta=\sqrt\epsilon>0,\forall(x,y)\in \mathring U((0,0);\delta)\) 成立
例、设
证明 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\).
证：用 \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\).
命题：\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\in D}f(x,y)=A(\in\R)\) 等价于 对于 \(D\) 的任何一个非空子集 \(E\) 且 \((x_0,y_0)\in E'\)，成立 \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\in E}\)
（可以用来判断不收敛）
命题：\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\in D}f(x,y)\) 存在等价于 \(\forall D\) 中的一列以 \((x_0,y_0)\) 为极限的两两不同的点列 \(\{(x_n,y_n)\}\) 有 \(\{f(x_n,y_n)\}\) 收敛。
（也一般用于判断不收敛）
例：\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)，可以用 \(\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\}\)。
二元函数的极限（二重极限）
设 \(D\) 是 \(\R^2\) 的一个非空子集，\(f:D\to\R\) 是一个二元函数。
\(P_0(x_0,y_0)\) 是 \(D\) 的一个聚点，若 \(\exist A\in\R\) 使得 \(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall (x,y)\in\mathring U((x_0,y_0);\delta)\cap D\)，有 \(|f(x)-A|<\epsilon\)，则称 \(f\) 当 \((x,y)\) 沿着 \(D\) 趋向于 \((x_0,y_0)\) 时以 \(A\) 为极限，记作
简记作（不引起混淆的情况下）
非正常极限：
若 \(\forall M>0,\exist \delta>0,\forall (x,y)\in\mathring U((x_0,y_0);\delta)\cap D\) 有 \(f(x,y)>M\)（或 \(f(x,y)<-M,|f(x,y)|>M\)），则称 \(f(x,y)\) 当 \((x,y)\) 沿着 \(D\) 趋向于 \((x_0,y_0)\) 时以 \(+\infin\)（或 \(-\infin,\infin\)）为极限，记法与上类似。
累次极限
设 \(f:D\to\R\) 是一个二元函数，\(P_0(x_0,y_0)\) 是平面上一个点。若 \(\forall x\in \mathring I_{x_0}\)，\(\lim_{y\to y_0}f(x,y)=\varphi(x)\in\R\)。进一步，有 \(\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=k\in\R\)，则称 \(f\) 当先 \(y\to y_0\) 后 \(x\to x_0\) 时累次极限存在，记作
（注意顺序）
注：\(\mathring I_{x_0}\) 表示横轴上 \(x_0\) 去心邻域。
例：\(f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}\) 在 \((0,0)\) 处的累次极限有 \(1\) 和 \(-1\)（重极限不存在）。
例：\(f(x,y)=x\sin\frac1y+y\sin\frac1x\).
\((0,0)\) 处重极限存在，但是累次极限不存在。
求多元函数极限的一些方法
- 利用函数“连续性”和极限四则运算性质；
- 利用不等式放缩或夹逼准则；
- 利用变量替换化为已知极限（需谨慎）；
- 猜出结果，用定义证明.
判断重极限不存在的常用方法：
- 找两个不同的极限过程使极限不存在或不相等；
- 证明两个累次极限存在但不相等.
二元函数连续性
设 \(f:D\to\R\) 是一个二元函数，\(P_0\in D\).
若 \(\forall \epsilon >0,\exist \delta >0,\forall P\in U(P_0;\delta)\cap D\)，有 \(|f(P)-f(P_0)|<\epsilon\)，则称 \(f\) 在 \(P_0\) 处（沿着 \(D\)）连续.
注：
-
若 \(P_0\) 是 \(D\) 的孤立点，则 \(f\) 在 \(P_0\) 处必定连续；
-
若 \(P_0\) 是 \(D\) 的聚点，则：
\(f\) 在 \(P_0\) 处连续 \(\Leftrightarrow\) \(\lim_\limits{P\to P_0\\P\in D}f(P)=f(P_0)\).
是 \(D\) 的聚点但是不在 \(D\) 中的认为是不连续点。
全增量、偏增量的定义
设 \(f:D\to\R\) 是一个二元函数，设 \(P_0\) 是 \(D\) 的一个内点，又设 \(z=f(x,y),(x,y)\in D\).
全增量 \(\Delta z|_{(x_0,y_0)}(\Delta x,\Delta y)\triangleq f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\)，其中 \((\Delta x,\Delta y)\in U((0,0);\delta)\)（\(\delta\) 是某个正常数）。
偏增量 \(\Delta_x z|_{(x_0,y_0)}(\Delta x)\triangleq f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0),\Delta x\in U(0,\tilde \delta)\).
偏增量 \(\Delta_y z|_{(x_0,y_0)}(\Delta y)\triangleq f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0),\Delta y\in U(0,\tilde{\tilde \delta})\).
命题：\(f\) 在 \(P_0\) 处连续（\(P_0\) 是 \(D\) 的聚点）\(\Leftrightarrow\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\Delta f|_{(x_0,y_0)}(\Delta x,\Delta y)=0\).
复合函数连续性
设二元函数 \(u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\) 在 \(P_0(x_0,y_0)\) 处的某个邻域内有定义，又设 \(u_0=\varphi(x_0,y_0),v_0=\psi(x_0,y_0)\)，又二元函数 \(z=f(u,v)\) 在 \((u_0,v_0)\) 的某个邻域内有定义，且 \(f\) 在 \((u_0,v_0)\) 处连续，\(\varphi,\psi\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续，假设复合函数 \(z=f(\varphi(x,y),\psi(x,y))\) 在一个更小的邻域内有定义，则复合函数 \(z=f(\varphi(x,y),\psi(x,y))\triangleq g(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处也连续。
向量值函数
设 \(m,l\) 是两个正整数，\(D\) 是 \(\R^m\) 的一个非空子集，称映射 \(\vec f:D\to\R^l\) 为一个 \(m\) 元 \(l\) 维向量值函数.
有界闭域上连续函数的性质
类比一元实值函数。有界性、最值存在定理、一致连续性定理、介值定理。
可微（可求全导）、全微分与偏导数、可求偏导
可微的定义
设 \(z=f(x,y)\) 在 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某个邻域内有定义。若 \(\exist A,B\in\R\) 使得
（其中 \((\Delta x,\Delta y)\to (0,0)\)）
则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微，并且称 \(A\Delta x+B\Delta y\) 为 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处的全微分，记作
（Jacobi 矩阵）
当 \(x,y\) 均为自变量时，\(\mathrm dx = \Delta x,\mathrm dy = \Delta y\)（因变量时未必相等）。
或定义为：
偏导数的定义
设 \(f:D\to\R\) 是一个二元函数，记作 \(z=f(x,y),(x,y)\in D\)，\(P_0\) 是 \(D\) 的一个内点，若
存在，则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处关于 \(x\) 可求偏导，且称上式为 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处关于 \(x\) 的偏导数（值），记作
（以上八种任选一种）（\(y\) 同理）
（没有左侧偏导数和右侧偏导数的说法，必须都可导才行）
命题·可微一定连续
若 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微，则 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续。
证：
注意：连续不一定可微，例如
由可微定义有
但是
极限不存在
命题·可微与偏微分
若 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微，则可微定义中常数 \(A\) 和 \(B\) 分别为 \(\frac{\part f}{\part x}(x_0,y_0)\) 和 \(\frac{\part f}{\part y}(x_0,y_0)\)。
证：有如下式子：
在 \((*)\) 式中，令 \(\Delta y=0\) 得：
变化可得：
另一个同理。
命题·可微的充分条件
若 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处的某个邻域 \(U\) 内两个偏导函数 \(f'_1(x,y),f'_2(x,y)\) 都存在，且二者在 \((x_0,y_0)\) 处连续，则 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处必可微。
证：任取 \((x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\in U\)，
\(\exist \theta_1,\theta_2\in(0,1)\)，使上式等于
又 \(f'_1(x,y),f'_2(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续，故有
从而若令
则：
从而知，\(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微。
定义·连续可微
若 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 的某个邻域内两个 \(f'_1(x,y),f'_2(x,y)\) 均存在，且在 \((x_0,y_0)\) 处连续，则称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续可微。
命题·复合函数求偏导的链式法则
设 \(x=\varphi(u,v),y=\psi(u,v)\) 在 \((u_0,v_0)\) 处可求偏导，\(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微，其中 \(x_0=\varphi(u_0,v_0),y_0=\psi(u_0,v_0)\)，则有复合函数 \(z=f(\varphi(u,v),\psi(u,v))\triangleq g(u,v)\) 在 \((u_0,v_0)\) 处可求偏导，且有
另一个同理。
证明：
又有：
\(\Delta_u y\) 同理。
那么：
两边同时除以 \(\Delta u\) 即可证明。
切平面
例：设 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微，求曲面 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0,f(x_0,y_0)=z_0)\) 处的切平面方程和法线方程。
解：设参数方程：
其中 \((x'(t),y'(y),z'(t))\) 是方向向量。
又根据上式有
所以 \((f'_1(x_0,y_0),f'_2(x_0,y_0),-1)\) 就是切平面的法向量。
所以切平面方程为：
法线方程：
例：设 \(u=u(x,y)\) 在 \(\R^2\) 上可微，作极坐标变化 \(x=r\cos \theta,y=r\sin \theta\) 后有 \(u=u(r\cos \theta,r\sin \theta)\triangleq g(r,\theta)\)，证明 \(\forall r>0,\theta\in[0,2\pi]\)，有
证：
展开代入即可。
一阶（全）微分的形式不变性
方向导数与梯度
考察 \(\R^3\) 中的情形，即考察三元函数 \(f:\Omega\to\R\) 的方向导数（其中 \(\Omega\) 为 \(\R^3\) 的一个开区域）. \(P_0(x_0,y_0,z_0)\in\Omega\)，\(\vec l\) 是 \(\R^3\) 中一个非零向量，令 \(\vec l^\circ=\frac{\vec l}{\|\vec l\|}=(\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)（三个方向余弦），称 \(\vec l^{\circ}\) 是 \(\vec l\) 的同向单位向量。
若极限
存在，则称 \(f\) 在 \(P_0\) 处沿方向 \(\vec l\) 的方向导数存在，并及上述极限为 \(\frac{\part f}{\part \vec l}(x_0,y_0,z_0)\) 或 \(\frac{\part f}{\part \vec l}|_{P_0}\) 等。
例：设 \(f(x,y,z)=|x|\)，\(P_0(0,0,0)\)，\(\vec l=\vec i=(1,0,0)\)。
解：
性质
设 \(f(x,y,z)\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处关于 \(x\) 的偏导数存在，则 \(\frac{\part f}{\part \vec i}(x_0,y_0,z_0)\) 一定存在，且等于此处偏导。（反之不成立，如上例题）
类比单侧极限。
定义·梯度
设 \(f:\Omega\to\R\) 是一个三元函数，\(P_0(x_0,y_0,z_0)\in\Omega\).
若 \(f\) 在点 \(P_0\) 处关于 \(x,y,z\) 的三个一阶偏导数均存在，则称
为 \(f\) 在 \(P_0\) 处的梯度（向量），记作 \(\bold{grad} f|_{P_0}\).
命题
若 \(f\) 在 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处可微，\(\vec l\) 是任意一个非零向量，\(\vec l^\circ=\frac{\vec l}{\|\vec l\|}=(\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)，则 \(f\) 在 \(P_0\) 处沿 \(\vec l\) 的方向导数必存在，且有
证：\(\because f\) 在 \(P_0\) 处可微，\(\therefore\) 有
\(\R^3\) 中，定义算子 \(\vec\nabla\triangleq\left(\frac{\part}{\part x},\frac{\part}{\part y},\frac{\part}{\part z}\right)\).
二阶导数
设 \(f\) 在 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某个邻域 \(U\) 内有定义。\(\frac{\part f}{\part x}\) 在 \(U\) 内存在且
存在，则记作 \(\frac{\part ^2f}{\part x^2}(x_0,y_0)\)。
同理，若
存在，则记作 \(f_{12}''(x_0,y_0)=\frac{\part}{\part y}(\frac{\part f}{\part x})|_{P_0}=\frac{\part ^2f}{\part x\part y}|_{P_0}\)，称作 \(f\) 在 \(P_0\) 处先关于 \(x\) 再关于 \(y\) 可求二阶偏导。
命题
设 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 的某个邻域 \(U\) 内有定义，\(\frac{\part^2 f}{\part x\part y},\frac{\part^2 f}{\part y\part x}\) 在 \(U\) 内有定义且在 \((x_0,y_0)\) 处连续，则
证：令 \(\varphi(x)=f(x,y_0+k)-f(x,y_0),x\in\tilde U(x_0),y_0+k\in \tilde{\tilde U}(y_0),k\) 固定。令 \(\psi(x)=f(x_0+h,y)-f(x_0,y),x_0+h\in \tilde U(x_0),y\in\tilde{\tilde U}(x_0),h\) 固定。
又：
二者相等，因此
令 \((h,k)\to(0,0)\)，利用连续性可得，\(f''_{12}(x_0,y_0)=f''_{21}(x_0,y_0)\).
定理·中值公式
凸区域定义
设 \(D\) 是平面 \(\R^2\) 的一个子集，若 \(\forall P_1,P_2\in D,\forall \lambda \in[0,1],\lambda P_1+(1-\lambda)P_2\in D\)，则称 \(D\) 是一个凸集。
若 \(D\) 既是凸集，又是区域，则称 \(D\) 是一个凸区域。
定理内容
设 \(D\) 是平面 \(\R^2\) 上的一个凸开域，二元函数 \(f\) 在 \(D\) 上可微，则 \(\forall (x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in D,\exist \theta\in(0,1)\)，使得
证：令 \(\varphi(t)=f(x_0+th,y_0+tk),t\in[0,1]\)，则
又 \(\varphi(t)\) 在 \([0,1]\) 上连续，由一元函数的 Lagrange 中值定理地：\(\exist \theta\in(0,1)\) 使得
即题中定理成立。
推论：若 \(f\) 在凸开域 \(D\) 上可微，且有 \(\forall (x,y)\in D,f_1'(x,y)=0=f_2'(x,y)\)，则 \(\exist\) 常数 \(c\)，使得 \(\forall (x,y)\in D,f(x,y)=C\).
证：任意固定 \((x_0,y_0)\in D\)，\(\forall (x,y)\in D\)，由中值定理有
令 \(C=f(x_0,y_0)\) 即证。
泰勒公式
例：设 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 的一个邻域 \(U\) 上有连续的任意阶偏导函数，令 \(\varphi(t)=f(x_0+th,y_0+th)\) 其 \(h,k\) 固定，且 \((x_0+h,y_0+k)\in U,\forall n\in \Z^+\)，求 \(\varphi^{(n)}(t),t\in[0,1]\).
解：
记作：
泰勒定理（带 Lagrange 型余项）
设 \(n\in\N\)，又有二元函数 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 的某个邻域 \(U\) 内有直到 \(n+1\) 阶的偏导函数，且所有偏导函数都连续，则 \(\forall (x_0+h,y_0+k)\in U\)，\(\exist \theta\in(0,1)\) 使得
证：令 \(\varphi(t)=f(x_0+th,y_0+tk)\)，然后利用一元函数的泰勒公式 \(\varphi(1)-\varphi(0)\)。
泰勒定理（带 Peano 型余项）
设 \(n\in\Z^+\)，又设二元函数 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 的某个邻域 \(U\) 内存在直到 \(n\) 阶的偏导数，且所有偏导数连续，则有下述带 Peano 型余项的 Taylor 公式成立：
证：用带 Lagrange 余项的泰勒定理证明，用连续性。只需证明
\(\because \forall i\in{0,1,\dots,n},\frac{\part^nf}{\part x^i\part y^{n-i}}\) 在 \(U\) 上连续，所以
结合不等式：
得：
极值问题
Hesse 矩阵
极值点的一个充分条件
设 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 的某个邻域 \(U\) 内有连续的二阶偏导数，令 \(A=f''_{11}(x_0,y_0),B=f''_{12}(x_0,y_0),C=f''_{22}(x_0,y_0)\)，又设 \((x_0,y_0)\) 是 \(f\) 的一个稳定点（两个一阶偏导数都为 \(0\)），则有
- （Hesse 矩阵正定，即 \(B^2-AC<0\)）
- 若 \(A>0\) 且 \(B^2-AC<0\)，则 \((x_0,y_0)\) 为 \(f\) 的极小值点。
- 若 \(A<0\) 且 \(B^2-AC<0\)，则 \((x_0,y_0)\) 为 \(f\) 的极大值点。
- 若 \(B^2-AC>0\)（不定），则 \((x_0,y_0)\) 必不是 \(f\) 的极值点。
- 若 \(B^2-AC=0\)，则需进一步判定。（例如 \(z=x^4+y^4,z=x^4-y^4,z=-x^4-y^4\)）
证明：
（泰勒展开，一阶偏导应该等于 \(0\)）
不妨设 \(A\neq 0\)，\(Q=\frac{1}{A}[(A\Delta x+B\Delta y)^2-(B^2-AC)(\Delta y)^2]\).
- \(B^2-AC<0\)：
- \(A>0\Rightarrow Q>0\)：极小值点
- \(A<0\Rightarrow Q<0\)：极大值点
- 不妨设 \(A>0\)，若 \(\Delta y=0,\Delta x\neq 0\)，则 \(Q>0\)；同时，若 \(\Delta x=-\frac{B}{A}\Delta y\)，又 \(B^2-AC>0\)，所以 \(Q<0\)。因此无法判断 \(Q\) 的符号，不是极值点。
举例：
因此 \((0,0)\) 是该函数的唯一驻点（稳定点），也是唯一的一个极大值点，但是不是最大值点或最小值点。
因为 \(f(\tan 1,\tan 1)=\frac{7}{64},f(\tan1,-\tan 1)=-\frac{9}{64},f(0,0)=0\).
隐函数定理及其应用
隐函数
一元隐函数定理
设 \(D\) 是 \(\R^2\) 的一个非空开集，二元函数 \(F:D\to\R\) 满足：
- \(F\in C^1(D)\)（即 \(F'_1(x,y),F'_2(x,y)\) 在 \(D\) 上连续）;
- \(\exist (x_0,y_0)\in D\) 使得 \(F(x_0,y_0)=0\)；
- \(F'_2(x_0,y_0)\neq 0\)
则存在包含 \((x_0,y_0)\) 的一个开矩形 \(I\times J(\sub D)\) 使得：
- \(\forall x\in I,\exist !y\in J\) 使得 \(F(x,y)=0\)，记 \(y=f(x)\)——“隐函数的存在性”；
- \(y_0=f(x_0)\);
- \(f\in C^0(I)\);
- \(\forall x\in I,f'(x)\) 存在且 \(f'(x)=-\frac{F'_1(x,y)}{F'_2(x,y)}\)，其中 \(y=f(x)\).
证明
-
\(\forall x\in I,\exist !y\in J\) 使得 \(F(x,y)=0\)，记 \(y=f(x)\)——“隐函数的存在性”；
证：由 #3 不妨设 \(F'_2(x_0,y_0)>0\)，再由 #1 可得 \(\exist (x_0,y_0)\) 的一个开矩形 \(\tilde I\times J\)（满足 \(\tilde I\times \overline J\sub D\)（\(\overline J\) 表示 \(J\) 的闭包）），使得 \(\forall (x,y)\in\tilde I\times \overline J\)，有 \(F'_2(x,y)>0\). 任意取定 \(x\in\tilde I\)，\(F(x,y)\) 作为 \(I\) 的函数在 \(\overline J\) 上是严格单调递增的连续函数。
设 \(J=(c,d)\)，由 #2 可知：\(F(x_0.c)<0,F(x_0,d)>0\).
又由 #1 可得 \(F(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，于是 \(\exist\) 包含 \(x_0\) 的开区间 \(I\sub \tilde I\)，使得 \(\forall x\in I,F(x,c)<0,F(x,d)>0\). 从而由连续函数的零点定理知，\(\exist y\in(c,d)=J\) 使得 \(F(x,y)=0\). 又 \(\because F(x,t)\) 在 \(t\in[c,d]\) 上 \(\uparrow\)，故 \(y\) 又是唯一的. 从而 \(\forall x\in I,\exist !y\in J\) 使得 \(F(x,y)=0\)，记作 \(y=f(x)\). 即 \(\forall x\in I\)，有 \(F(x,f(x))=0\).
另证：不妨设 \(F'_2(x_0,y_0)>0\)，由 \(F'_2(x,y)\) 的连续性知 \(\exist \gamma >0,\eta>0\) 使得 \([x_0-\gamma,x_0+\gamma]\times[y_0-\eta,y_0+\eta]\sub D\)，且 \(\forall (x,y)\in[x_0-\gamma,x_0+\gamma]\times [y_0-\eta,y_0+\eta]\) 有 \(F_2'(x,y)>0\).
令 \(\psi(t)=F(x_0,t),t\in[y_0-\eta,y_0+\eta]\)，因为 \(t\in[y_0-\eta,y_0+\eta]\)，所以 \(\psi'(t)>0\)，所以 \(\psi(t)\) 在 \([y_0-\eta,y_0+\eta]\) 上 \(\uparrow\). 特别地，有 \(\psi(y_0-\eta)<\psi(y_0)=0<\psi(y_0+\eta)\).
考虑 \(x\) 的函数 \(F(x,y_0-\eta)\) 和 \(F(x,y_0+\eta),x\in[x_0-\gamma,x_0+\gamma]\). 又这两个函数在 \([x_0-\gamma,x_0+\gamma]\) 上连续，故 \(\exist \delta\in(0,\gamma)\) 使得 \(\forall x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\)，有 \(F(x,y_0-\eta)<0<F(x,y_0+\eta)\).
令 \(I=(x_0-\delta,x_0+\delta),J=(y_0-\eta,y_0+\eta)\)，\(\forall x_1\in I(x_1取定)\)，考虑 \(y\) 的函数 \(F(x_1,y)\) 在 \(J\) 上连续，且有 \(F(x_1,y_0-\eta)<0<F(x_1,y_0+\eta)\)，又 \(F(x,t)\) 在 \(J\) 上 \(\uparrow\)，故 \(\exist !y_1\in J\) 使得 \(F(x_1,y_1)=0\)，记 \(y_1=f(x_1)\)，故得证。
-
\(y_0=f(x_0)\);
证：\(\because x_0\in I,\therefore\) 由 1 的证明知 \(\exist !\tilde{y_0}\in J\) 使得 \(F(x_0,\tilde{y_0})=0\)，又由条件 #2 知 \(F(x_0,y_0)=0\)，再由唯一性知 \(y_0=\tilde{y_0}=f(x_0)\)，故得证。 -
\(f\in C^0(I)\);
证：\(\forall x_1\in I\)，记 \(y_1=f(x_1)\in J\)，因为 \(y_1\in J=(y_0-\eta,y_0+\eta)\)，（\(\exist \sigma\)，这里的 \(\sigma\) 应该是为了保证 \(\epsilon\) 足够小）\(\forall \sigma>\epsilon>0\)，有 \((y_1-\epsilon,y_1+\epsilon)\sub J\)，又 \(\because f(x_1,y_1-\epsilon)<F(x_1,y_1)=0<F(x_1,y_1+\epsilon)\)，\(\exist \tilde\delta >0\) 使得 \(\forall x\in(x_1-\tilde\delta,x_1+\tilde\delta)\sub I\)，有 \(F(x,y_1-\epsilon)<0<F(x,y_1+\epsilon)\)，又 \(\forall x\in(x_1-\tilde \delta,x_1+\tilde\delta)\)，\(\exist!y=f(x)\) 使得 \(F(x,y_1-\epsilon)<F(x,y)=0<F(x,y_1+\epsilon)\). 于是 \(\forall x\in(x_1-\tilde\delta,x_1+\tilde\delta)\)，有 \(y=f(x)\in(y_1-\epsilon,y_1+\epsilon)\)，即 \(\forall \sigma>\epsilon>0,\exist\tilde\delta>0,\forall x\in\{t\in I||t-x_1|<\tilde\delta\}\)，有 \(|y-y_1|=|f(x)-f(x_1)|<\epsilon\)，即 \(y=f(x)\) 在 \(x=x_1\) 处连续。 -
\(\forall x\in I,f'(x)\) 存在且 \(f'(x)=-\frac{F'_1(x,y)}{F'_2(x,y)}\)，其中 \(y=f(x)\).
证：设 \(x\in I\)，取 \(h\neq 0\) 满足 \(x+h\in I\)，令 \(y=f(x),k\=f(x+h)-f(x)\)，由 \(F\) 的可微性及可微性的一个等价描述有：
\[\begin{aligned} 0=&F(x+h,y+k)-F(x,y)\\ =&F'_1(x,y)h+F'_2(x,y)k+\alpha(h,k)\cdot h+\beta(h,k)\cdot k \end{aligned} \]由 \(f\) 的连续性可知，当 \(h\to 0\) 时，\(k\to 0\)，其中
\[\alpha(h,k)\to o(h,k)\to(0,0)\\ \beta(h,k)\to o(h,k)\to(0,0)\\ \]\[[-F_1'(x,y)-\alpha(h,k)]h=[F'_2(x,y)+\beta(h,k)]k \]所以
\[\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{k}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{-F_1'(x,y)-\alpha(h,k)}{F_2'(x,y)+\beta(h,k)}\\ =&-\frac{F_1'(x,y)}{F_2'(x,y)} \end{aligned} \]
隐函数的定义
设 \(I,J\) 是两个开区间（空集为退化的开区间），\(F(x,y)\) 是定义在 \(D\) 上的一个二元函数，且 \(I\times J\sub D\)，如果 \(\forall x\in I,\exist ! y\in J\) 使得 \(F(x,y)=0\)，那么则称函数 \(f:I\to J\\x\mapsto y\overset{记作}=f(x)\) 为由方程 \(F(x,y)=0\) 所确定的一个从 \(I\) 到 \(J\) 的隐函数。
一般情形的隐函数定理
设 \(m,p\in \Z^+\)。
设函数 \(F^1(x^1,\dots,x^m,y^1,\dots,y^p),\dots,F^p(x^1,\dots,x^m,y^1,\dots,y^p)\) 在包含点 \((x_0^1,\dots,x_0^m,y_0^1,\dots, y_0^m)\) 的一个开集 \(D\) 上连续可微，并且满足 \(\forall i=1,\dots, p\)，有
其中
称其为 \(F^1,\dots,F^p\) 关于变量 \(y^1,\dots,y^p\) 的 Jacobi（雅可比）行列式，（？）记作 \(\det Df(P_0)\)。
则存在以 \((x_0^1,\dots,x_0^m,y_0^1,\dots,y_0^p)\) 为中心的开长方体 \(I^1\times \dots \times I^m\times J^1\times\dots\times J^p\sub D\sub\R^{m+p}\)（其中 \(\exist \alpha,\beta>0\)，使得 \(\forall i\in[1,m],I^i=(x_0^i-\alpha,x_0^i+\alpha)\) 且 \(\forall j\in[1,m],J^j=(y_0^j-\beta,y_0^j+\beta)\)）使得：
-
\(\forall \vec x=(x^1,\dots,x^m)\in I^1\times\dots\times I^m\) 恰好存在唯一一组实数 \((y^1,\dots, y^p)\in J^1\times\dots\times J^p\)，使得 \(\forall i=1,\dots, p\) 有 \(F^i(x^1,\dots,x^m,y^1,\dots y^p)=0\). （即 \((*)\) 式确定一个隐含数组 \((**)\)）。
\((*)\) 和 \((**)\) 如下：
\[(*)\begin{cases} F^1(x^1,\dots,x^m,y^1,\dots,y^p)=0\\ \dots\\ F^p(x^1,\dots,x^m,y^1,\dots,y^p)=0\\ \end{cases}\\ (**)\begin{cases} y^1=f^1(x^1,\dots, x^m)\\ \dots\\ y^p=f^p(x^1,\dots, x^m) \end{cases} \] -
\((**)\) 式中每个函数在 \(I=I^1\times \dots\times I^m\) 上连续可微，且他们的一阶偏导函数可通过下述方程组 \((***)\) 求的：
\[k=1,2,\dots,m\\ (***)\begin{cases} \frac{\part F^1}{\part x^k}+\sum_{j=1}^{p}\frac{\part F^1}{\part y^j}\cdot\frac{\part f^i}{\part x^k}=0\\ \dots\\ \frac{\part F^p}{\part x^k}+\sum_{j=1}^{p}\frac{\part F^p}{\part y^j}\cdot\frac{\part f^i}{\part x^k}=0\\ \end{cases} \]（就是 \(F^i\) 对每个 \(x^k\) 求偏导，把 \(y_i=f_i\) 带进去）。
例：\(m=p=2\)，\(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\) 确定一个隐函数 \(\begin{cases}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{cases},(x,y)\in U((x_0,y_0);\delta)\).
求导得：
于是：
其余类似，即可得到 \(u,v\)。（就是解上面 \((***)\) 式）
逆映射定理
设 \(D\) 是 \(\R^m\) 中的一个非空开集（\(m\in\Z^+\)），
\(f:D\to\R^m\) 是一个 \(m\) 元 \(m\) 维向量值函数，\(f\in C^1(D)\)（在 \(D\) 上一阶偏导都连续）
\(P_0\in D\)，如果 \(\det Df(P_0)\neq 0\)（雅可比行列式），则存在包含 \(P_0\) 的一个开集 \(U\) 和包含 \(Q_0=f(P_0)\) 的开集 \(V\) 使得
- \(f(U)=V\);
- \(f:U\to V\) 是一个双射;
- \(f|_U\) 的逆映射 \(g|_V:V\to U\in C^1(V)\).
例：极坐标变换
例：球面坐标变换：
空间曲线 \(L\) 由方程组 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\) 所确定
几何应用
是一条简单光滑曲线，\(t_0\in \mathring I\)，记 \((x(t_0),y(t_0),z(t_0))=(x_0,y_0,z_0)\)，切线
\(\R^3\) 中光滑简单曲线的切线与法平面方程
设空间曲线 \(L\) 由方程 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\) 所确定，\(P(x_0,y_0,z_0)\in L\)，设 \(\frac{\part(F,G)}{\part(y,z)}|_{P_0}\neq 0\)，则 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\) 确定了隐含数组 \(\begin{cases}y=y(x)\\z=z(x)\end{cases},x\in I\)。
故可设空间曲线 \(L\) 有一个参数化为 \(\begin{cases}x=t,\\y=y(t),\\z=z(t),\end{cases}t\in I\)，于是 \(L\) 在 \(P_0\) 处的切向量为 \((1,y'(x_0),z'(x_0))\).
由 \(F(x,y(x),z(x))=0\) 两边关于 \(x\) 求导得：\(F'_x+F'_y\cdot y'(x)+F'_z\cdot z'(x)=0\).
由 \(G(x,y(x),z(x))=0\) 两边关于 \(x\) 求导得：\(G'_x+G'_y\cdot y'(x)+G'_z\cdot z'(x)=0\).
解得：
由此可得切线表达式：
（注意负号被拿到分母的 \(\part(*,*)\) 里面去了，体现为交换了次序）
法平面为：
\(\R^3\) 中光滑简单曲面的切平面与法线方程
\(\R^3\) 中的一个参数曲面 \(S:\begin{cases}x=x(u,v),\\y=y(u,v),\\z=z(u,v),\end{cases}(u,v)\in I\times J\)，\((u,v)\in I\times J,u_0\in\mathring I,v_0\in\mathring J\)，若 \(T:I\times J\to \R^3\\(u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 是一个单射，称 \(T(I\times J)=S\) 是一个简单曲面。
设 \(U\) 是包含 \(I\times J\) 的平面上的一个开集，\(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\) 在 \(U\) 上有连续的所有一阶偏导函数。
考虑 \(\vec a=(\frac{\part x}{\part v}(u_0,v_0),\frac{\part y}{\part v}(u_0,v_0),\frac{\part z}{\part v}(u_0,v_0)),\vec b=(\frac{\part x}{\part u}(u_0,v_0),\frac{\part y}{\part u}(u_0,v_0),\frac{\part z}{\part u}(u_0,v_0))\)，切平面由 \(\vec a,\vec b\) 张成，要求 \(\vec a\times \vec b\neq 0\).
若 \(\forall (u,v)\in I\times J\)，\((\frac{\part x}{\part u},\frac{\part y}{\part u},\frac{\part z}{\part u})\times (\frac{\part x}{\part v},\frac{\part y}{\part v},\frac{\part z}{\part v})\neq \bold{0}=(0,0,0)\)，则称 \(S\) 是一张光滑曲面。
记
则
切平面方程：
（这是我并不规范的简写hhh）
例：若 \(F(x,y,z)=0\) 确定了一张简单光滑曲面 \(S:z=z(x,y),(x,y)\in U\)，则曲面 \(S\) 有一个参数化 \(\begin{cases}x=u,\\y=v,\\z=z(u,v),\end{cases}(u,v)\in U\).
又
所以切平面方程：
极值问题
无条件极值问题
求极值 \(f(x_1,\dots,x_{m+p}),m,p\in\Z^+\)，\(D_f\) 是 \(\R^{m+p}\) 中的一个非空子集。\(\operatorname{argmax}/\operatorname{argmin}\).
条件极值问题
加一些（约束条件或者限制条件）
等式约束：求目标函数 \(f(x_1,\dots,x_{m+p})\) 在
的约束下的极值。
解出函数：
假设 \(f,g_1,\dots,g_p\) 有连续的所有二阶偏导数，并且设 \(g_1,\dots,g_p\) 满足条件：
满足：
\(L(x_1,\dots,x_{m+p},\lambda_1,\dots,\lambda_p)=f+\sum_{i=1}^{p}\lambda_ig_i\).
例：条件最值问题
\(S=2xz+2yz+xy\)，常数 \(V=xyz\).
条件极值的一个必要条件（\(m=p=1\) 时）
设 \(D\) 是 \(Oxy\) 平面 \(\R^2\) 的一个开集，\((x_0,y_0)\in D\)，\(f(x,y),\varphi(x,y)\) 在 \(D\) 上有连续的所有一阶偏导函数，且 \(\varphi'_2(x_0,y_0)\neq 0\)，则 \(f\) 在约束条件 \(\varphi=0\) 下在 \((x_0,y_0)\) 处取极值的必要条件是 \(\exist \lambda_0\in \R\) 满足“
（这样的 \((x_0,y_0,\lambda_0)\) 是函数 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\) 的一个驻点）
证：\(\because \varphi\in C^1(D)\) 且 \(\varphi'_2(x_0,y_0)\neq 0\).
\(\therefore\) 由隐函数定理知，\(\exist x_0\) 的一个邻域 \(\mathcal N(x_0)\) 及函数 \(h(x):\mathcal N(x_0)\to \R\)，使得 \(h(x_0)=y_0\) 且 \(\forall x\in\mathcal N(x_0),\varphi(x,h(x))=0\).
又由已知条件知，\(f\) 在条件 \(\varphi = 0\) 下在 \((x_0,y_0)\) 处取到极值，从而有函数 \(g(x)=f(x,h(x))\) 在 \(x_0\) 处也取到极值，由费马定理知，\(g'(x_0)=0\)，即 \(f'_1(x_0,y_0)+f'_2(x_0,y_0)\cdot h'(x_0)=0\)，再由隐函数定理知，\(h'(x_0)=-\frac{\varphi_1'(x_0,y_0)}{\varphi_2'(x_0,y_0)}\)，代入得
令 \(\lambda_0=-\frac{f'_2(x_0,y_0)}{\varphi'_2(x_0,y_0)}\)，即得：\(f'_1(x_0,y_0)+\lambda_0\varphi_1'(x_0,y_0)=0\),
又得：\(f'_2(x_0,y_0)+\lambda_0\varphi'_2(x_0,y_0)=0\)，（\(\because \lambda_0=-\frac{f'_1(x_0,y_0)}{\varphi'_1(x_0,y_0)}\) 成立（由上式可推得））
又由隐函数定理得：\(\varphi(x_0,y_0)=0\). 证毕。
例：设 \(p>1,c>0\) 为常数，求函数 \(f(x,y)=\frac12(x^p+y^p),x\ge 0,y\ge 0\)，在约束条件 \(x+y=c\) 下的最小值，从而有不等式：\(\forall x\ge0,y\ge 0\)，有：
解：设 Lagrange 函数：
由
得：\(x=\frac c2,y=\frac c2,\lambda=-\frac{p}{2}\left(\frac{c}{2}\right)^{p-1}\).
因为 \(f(\frac c2,\frac c 2)=\left(\frac{c}2\right)^p,f(0,c)=\frac12c^p=f(c,0)\)，又 \(\frac{1}2c^p>\left(\frac{c}{2}\right)^p\)，因此 \(f(\frac c 2,\frac c 2)=\left(\frac c 2\right)^p\) 为最小值。
例：求由方程 \(F(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2+2xy-2x-2y-4z+4=0\) 所确定的隐函数 \(z=z(x,y)\) 的极值。
解：
再由 \(\frac{\part z}{\part x}=\frac{\part z}{\part y}=0\)，解得 \(x=0,y=1\)。注意，此处有两个点，\((0,1,1)\) 和 \((0,1,3)\). 说明此处对应两个函数，分别用 Hesse 矩阵判定，\((0,1,1)\) 为极小值，\((0,1,3)\) 为极大值。
求 \(f(x,y)=z\) 在约束条件 \(F(x,y,z)=0\) 下的极值：
求导后仍然让 \(\frac{\part z}{\part x}=\frac{\part z}{\part y}=0\).
含参量积分
含参量常义积分
设 \(a,b\in\R,a<b,c,d\in\R,c<d\)，设 \(f:[a,b]\times [c,d]\to\R\) 是一个二元函数。
固定 \(x\in[a,b]\)，\(f(x,y)\) 作为 \(y\) 的函数在 \([c,d]\) 上可积，则定义一个函数 \(\varphi:[a,b]\to\R,x\mapsto\int_{c}^df(x,y)\mathrm dy\).
同理可以固定 \(y\) 对 \(x\) 积分。
设 \(c(x),d(x)\) 是 \([a,b]\) 上的两个连续函数，且 \(\forall x\in[a,b],c(x)\le d(x)\)，称 \(O_{xy}\) 平面上的“区域”：
为一个 \(x-\)型 区域。
同理可以定义 \(y-\)型 区域。
-
若对于固定的 \(x\in[a,b]\)，\(f(x,y)\) 作为 \(y\) 的函数在 \([c(x),d(x)]\) 上可积，则可以定义一个函数 \(\varphi:[a,b]\to\R,x\mapsto\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm dy\).
称表达式 \(\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm dy\) 的值是含参变量 \(x\) 的常义积分。
-
对于 \(y\) 可以同理定义。
连续性 Th
设 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times [c,d]\) 上连续，则 \(\varphi(x)\)（\(\varphi(x)\) 的定义见上）在 \([a,b]\) 上连续，\(\psi(y)\) 在 \([c,d]\) 上连续（\(\psi\) 与 \(\varphi\) 类似）。
证：（只证 \(\varphi(x)\) 连续，另一个同理）
任意取定 \(x\in[a,b]\)，取 \(\Delta x\in\R-\{0\}\)，使得 \(x+\Delta x\in[a,b]\)。
因为 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 上连续，所以 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 上一致连续。
于是有 \(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in[a,b]\times[c,d]\) 且满足 \(|x_1-x_2|<\delta,|y_1-y_2|<\delta\)，有 \(|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\epsilon\).
从而当 \(|\Delta x|<\delta\) 时，有
所以 \(\lim_{\Delta x\to 0}\varphi(x+\Delta x)=\varphi(x)\)，即 \(\varphi\) 在 \(x\) 处连续。
此外，\(x-\)型 区域也可以类似证明，可以将 \(\varphi(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm dy\) 转化为 \(\varphi(x)=\int_{0}^1f(x,c(x)+t[d(x)-c(x)])\mathrm dt\cdot [d(x)-c(x)]\).
可导性 Th
设 \(f(x,y)\) 在包含 \([a,b]\times[c,d]\) 的一个开集 \(U\) 上连续，且 \(\frac{\part f}{\part x}(x,y)\) 在 \(U\) 上连续，则 \(\varphi(x)\) 在 \([a,b]\) 上处处可导，且有
证：\(x\in(a,b)\)，取 \(\Delta x\neq 0\) 使得 \(x+\Delta x\in[a,b]\)，
因为 \(\frac{\part f}{\part x}\) 在 \([a,b]\times [c,d]\) 上一致连续，所以 \(\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,\forall |\Delta x|<\delta\)，有 \(|\frac{\part f}{\part x}(x+\Delta x,y)-\frac{\part f}{\part x}(x,y)|<\epsilon,(\forall y\in[c,d])\)。
可得：
然后类似的求积分小于 \(\epsilon|c-d|\)，即证。
一般情况，\(c(x),d(x)\) 若均可导，\(\varphi(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm dy\) 在 \([a,b]\) 上可导。
可积性 Th
设 \(f(x,y)\) 在 \([a,b]\times [c,d]\) 上连续，则
分别称作先对 \(y\) 积分再对 \(x\) 积分的累次积分、先对 \(x\) 积分再对 \(y\) 积分的累次积分。
证：\(\forall u\in[a,b]\)，令
\(\forall u\in[a,b],\varphi'_1(u)=\varphi'_2(u)\).
所以 \(\exist c\in\R\)，使得 \(\varphi_1(u)=\varphi_2(u)+c\)，又 \(\varphi_1(a)=0=\varphi_2(a)\)，所以 \(c=0\).
特别地，当 \(u=b\) 时，\(\varphi_1(b)=\varphi_2(b)\)，即结论成立。
曲线积分
第一型·关于弧长的积分
例：设 \(\gamma\) 是 \(\R^3\) 中的一根铁丝，一直其线密度函数为 \(\rho(x,y,z)\)，其形状为参数曲线 \(x=x(t),y=y(t),z=z(t),t\in[\alpha,\beta]\)，求 \(\gamma\) 的质量。
解：将 \(\gamma\) 依次分成 \(n\) 段，弧 \(M_{i-1}M_i,i=1,\dots,n\)，记每段弧长为 \(\Delta s_i,i=1,\dots, n\)，在弧段 \(M_{i-1}M_i\) 任取一点 \((\xi_i,\zeta_i,\eta_i)\)，以这点的密度 \(\rho(\xi_i,\zeta_i,\eta_i)\) 为弧段 \(M_{i-1}M_i\) 的近似（平均）线密度，则弧段 \(M_{i-1}M_i\) 的近似质量为 \(\rho(\xi_i,\zeta_i,\eta_i)\cdot \Delta s_i\)，再求和 \(\sum_{i=1}^n\rho(\xi_i,\zeta_i,\eta_i)\cdot\Delta s_i\)，又令 \(\max_{1\le i\le n}\Delta s_{i}=\|P\|\)，若 \(\exist J\in\R\) 使得 \(\forall \epsilon>0,\exist\delta >0\)，\(\forall\gamma\) 的分划 \(P=\{M_0,\dots,M_n\}\) 且 \(\|P\|<\delta\)，\(\forall (\xi_i,\zeta_i,\eta_i),i=1,\dots,n\) 均成立：
\[\left|\sum_{i=1}^{n}\rho(\xi_i,\zeta_i,\eta_i)\cdot\Delta s_i-J\right|<\epsilon \]则称 \(J\) 为铁丝的质量。
设 \(\gamma\) 是 \(\R^3\) 中一条可求长的简单连续曲线。
\(f(x,y,z)\) 是定义在 \(\gamma\) 上的一个函数，将 \(\gamma\) 分成 \(n\) 份，每份记作 \(\gamma_i,i=1,\dots, n\)，其弧长记作 \(\Delta s_i\)，记 \(\gamma\) 的这个分划为 \(P\)，即 \(P=\{\gamma_1,\dots,\gamma_n\}\)，令 \(\|P\|=\max_{1\le i\le n}\Delta s_i\)，再每个 \(\gamma_i\) 上任取一点 \(\tilde P_{i}(x_i,y_i,z_i)\)，作 Riemann 和 \(\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)\cdot\Delta s_i\)，若 \(J\in\R\) 使得 \(\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,\forall \gamma\) 的一个分划 \(P\)，只要 \(\|P\|<\delta\)，\(\forall P\) 的介点集 \(\{\tilde P_{i}\}_{i=1}^{n}\)，均成立
则称函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(\gamma\) 上的第一型曲线积分存在，记作
“必要条件”：若 \(f\) 在 \(\gamma\) 上的第一型曲线积分存在，则 \(f\) 在 \(\gamma\) 上必有界。
“充分条件”：若 \(f\) 在 \(\gamma\) 上连续，则 \(f\) 在 \(\gamma\) 上的第一型曲线积分必存在。
性质
-
\(\int_{\gamma}1\mathrm ds=\gamma\) 的弧长。
-
（线性性）若 \(f,g\) 在 \(\gamma\) 上的第一型曲线积分均存在，\(a,b\) 是两个实常数，则 \(a\cdot f+b\cdot g\) 在 \(\gamma\) 的第一型曲线积分也存在，且有
\[\int_\gamma[af(x,y,z)+bg(x,y,z)]\mathrm ds=a\int_{\gamma}f(x,y,z)\mathrm ds+b\int_{\gamma}g(x,y,z)\mathrm ds \] -
（“区间”可加性）若 \(f\) 在 \(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_m\) 上的第一型曲线积分存在，若又设 \(\gamma\) 为 \(\gamma_1,\dots,\gamma_m\) 首尾相连形成的一条简单曲线（除相邻两条曲线首尾相连，中间不能有任何相交），则 \(f\) 在 \(\gamma\) 上的第一型曲线积分也存在，且有
\[\int_{\gamma}f(x,y,z)\mathrm ds=\sum_{i=1}^m\int_{\gamma_i}f(x,y,z)\mathrm ds \]
第一型曲线积分计算方式
命题：设 \(\gamma\) 是 \(\R^3\) 中的一条简单光滑曲线，有一个简单光滑的参数化为
若 \(f(x,y,z)\) 在 \(\gamma\) 上连续，则 \(f\) 在 \(\gamma\) 上的第一型曲线积分存在且有下述计算方式：
证：作 \([\alpha,\beta]\) 中的一个分划 \(\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n=\beta\)，对应 \(\gamma\) 有一个分划 \(P=\{M_0,\dots,M_n\}\)，其中 \(M_{i-1}M_i\) 的弧长为
又 \(x'(t),y'(t),z'(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上连续，故 \(\exist \tau_{i}\in[t_{i-1},t_i],(i=1,\dots,n)\)，使得 \(\Delta s_i=\sqrt{(x'(\tau_i))^2+(y'(\tau_i))^2+(z'(\tau_i))^2}\cdot \Delta t_i\). 于是
接下来的部分与证明一元函数积分类似。
例：设 \(\gamma\) 为 \(x^2+y^2+z^2=a^2\)（其中 \(a>0\) 为常数）与平面 \(x+y+z=0\) 的交线，求 \(\int_{\gamma}x^2\mathrm dx\).
解：\(\gamma\) 在 \(XOY\) 平面上的投影曲线：
令 \(\frac{\sqrt 3}2 x=\frac{a}{\sqrt 2}\cos t,\frac{x}{2}+y=\frac{a}{\sqrt 2}\sin t,t\in[0,2\pi]\).
然后计算 \(\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\) 再算积分。
第二型曲线积分
变力做功. 设 \(\gamma= AB\) 为 \(\R^3\) 中一条简单可求长的有向曲线，\(\vec F(x,y,z)=P(x,y,z)\vec i+Q(x,y,z)\vec j+R(x,y,z)\vec k\) 为定义在 \(\gamma\) 上的向量值函数（三元三维向量值函数，可以理解为“力场”），作 \(\gamma\) 的与 \(\gamma\) 方向一致的一个划分 \(P=\{M_0(A),M1,\dots,M_n(B)\}\)，记 \(M_i=(x_i,y_i,z_i),\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)，\(\Delta y_i,\Delta z_i\) 类似。
\(\Delta s_i\) 为 \(M_{i-1}M_i\) 的弧长 \(i=1,\dots, n\)，令 \(\|P\|=\max_{1\le i\le n}\Delta s_i\)，在 \(M_{i-1}M_i\) 上任取一点 \(\tilde P_i(\xi_i,\zeta_i,\eta_i)\) 作一和式
若 \(\exist I\in \R\)，使得 \(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall P\) 只要 \(\|P\|<\delta\)，\(\forall\{\tilde P_{i}\}_{i=1}^n\) 成立
则称 \(\vec F(x,y,z)=(P,Q,R)\) 沿着曲线 \(\gamma\) 的正向的第二型曲线积分存在，记作
（其中 \(\gamma^+\) 表示沿着曲线 \(\gamma\) 正向，类似的记号有 \(+\gamma,\gamma^-,-\gamma\)（如果只写 \(\gamma\) 则代表正向））
若定义记号：\(\mathrm d\vec s=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)\)，则也可以记作
性质
-
\(\int_{\gamma^+}=-\int_{\gamma^-}\).
-
“区间”可加性：若 \(\vec F(x,y,z)\) 在 \(\gamma_1^+\) 上的第二型曲线积分存在，在 \(\gamma_2^+\) 上的第二型曲线积分存在；又 \(\gamma^+\) 为 \(\gamma_1^+\) 与 \(\gamma_2^+\) 首尾相连而成的且其正向与 \(\gamma_1\) 和 \(\gamma_2\) 的正向一直，则有：
\[\int_{\gamma+}\vec F\cdot \mathrm d\vec s=\int_{\gamma_1^+}\vec F\cdot\mathrm d\vec s+\int_{\gamma_2^+}\vec F\cdot\mathrm d\vec s \]
第二型曲线积分计算方式
设 \(\gamma\) 是一条简单光滑曲线，有一个简单光滑的参数化
描述 \(\gamma\) 的正向与参数 \(t\) 从小到大的变化方向一致，\(\vec F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\) 在 \(\gamma\) 上连续，则 \(\vec F\) 沿着 \(\gamma\) 的正向的第二型曲线积分存在且有下述计算分式成立：
（证明略去）
例：计算曲线积分 \(I=\int_{y^+}(x^2+2xy)\mathrm dy\). 其中 \(\gamma\) 为逆时针方向的上半椭圆：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>0,b>0)\).
解：
又参数 \(t\) 从小到大变化方向与曲线 \(\gamma\) 的正向一致，从而有：
（注意是第二类，因为是对 \(y\) 积分）
例：求曲线积分 \(I=\oint_{\gamma^+}y^2\mathrm dx+z^2\mathrm dy+x^2\mathrm dz\)，其中 \(\gamma\) 是曲线：
上 \(z\ge 0\) 的部分，该曲线正向为从 \(x\) 轴正无穷大除俯看该曲线为逆时针方向。
解：
（推导：\(z^2=a^2-r^2,r^2=ar\cos\theta\)，故 \(z=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{a^2-a^2\cos^\theta}=a|\sin\theta|\)）
因此：
其中在 \(\theta=0\) 处 \(z\) 不连续，可以分成两段计算。（允许有限个点不连续）
设 \(C\) 是 \(\R^3\) 中一条简单光滑参数曲线：
由题设知 \(\vec v=(x'(t),y'(t),z'(t))\) 为 \(C\) 上点 \((x(t),y(t),z(t))\) 处与 \(C\) 正向（参数 \(t\) 从小到大变化的方向）一致。又设 \(P,Q,R\) 在 \(C\) 上连续，则有
设 \(\vec v^{\circ}=\frac{1}{\|\vec v\|}\vec v\)，称作 \(v\) 的单位向量。
令 \(\cos\alpha=\frac{x'(t)}{\|\vec v\|},\cos\beta=\frac{y'(t)}{\|\vec v\|},\cos\gamma=\frac{z'(t)}{\|\vec v\|}\)，则：
其中 \(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\) 称作 \(\vec v\) 的方向数（方向余弦）。（满足：\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)）
补充命题
设 \(\Gamma\) 是光滑曲面 \(z=f(x,y),(x,y)\in D\) 上的一条分段简单光滑封闭曲线，曲线 \(\Gamma\) 在 XOY 平面上的投影曲线为 \(C\)，又 \(\Gamma\) 的正向与 \(C\) 的正向一致，\(P(x,y,z)\) 在 \(\Gamma\) 上连续，则有 \(\oint_\Gamma P(x,y,z)\mathrm dx=\oint_C P(x,y,f(x,y))\mathrm dx\).
证：设 \(C\) 的参数化：
则可以得到 \(\Gamma\) 的参数化：
所以：
重积分
二重积分
面积 Area
设 \(G\) 是平面 \(\R^2\) 的一个有界非空子集（约定空集面积是 \(0\)）（XOY 平面 \(\R^2\)）
存在一个边与坐标轴平行的长方形 \(R\) 能够围住 \(G\)，记其面积为 \(A(R)\)。
划分（直线网）\(P=\{一些长方形\}\)，\(\overline A(G,P)=P 中与 G 相交的长方形面积之和\)。（长方形面积是公理化定义的，即长乘宽）。
称 \(\overline A(G,P)\) 是 \(G\) 关于 \(P\) 的外面积，则 \(0\le \overline{A}(G,P)\le A(R)\).
类似定义 \(\underline{A}(G,P)=P中包含于G中的长方形的面积之和\)（若 \(P\) 中不存在长方形包含于 \(G\) 中，则定义 \(\underline{A}(G,P)=0\)），称之为 \(G\) 关于 \(P\) 的内面积。
记 \(\overline S=\{\overline A(G,P)|G\},\underline S=\{\underline A(G,P)|P\}\)。称 \(\inf\overline S\) 为 \(G\) 的外面积，\(\sup\underline S\) 为 \(G\) 的内面积。
若 \(\inf\overline S=\sup\underline S\)，则称 \(G\) 可求面积，并有 \(G\) 的面积为公共值 \(\overline A(G)=\underline A(G)\)。
不可求面积的例子：\(G=\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]|x,y\in \Q\}\).
命题
\(G\) 面积为 \(0\Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\exist\) 有限多个长方形 \(R_i,i=1,\dots,n\)，使得 \(\sum_{i=1}^{n}A(R_i)<\epsilon\).
二重积分的定义
设 \(f(x,y)\) 在一个 \(\R^2\) 中的可求面积的有界闭区域 \(D\) 上有定义，将 \(D\) 分成 \(n\) 块可求面积的“小闭区域” \(\sigma_i(i=1,\dots,n)\). 记 \(\sigma_i\) 的面积为 \(\Delta\sigma_i\)，记 \(\sigma_i\) 的直径为 \(d_i\)，记此分割为 \(T=\{\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n\}\)，令 \(\|T\|=\max_{1\le i\le n}d_i\)（\(T\) 的模，也称细度），在每个 \(\sigma_i\) 中任取一点（介点）\(P_i(\zeta_i,\eta_i)\).
作和式（Riemann 和） \(\sum_{i=1}^nf(\zeta_i,\eta_i)\cdot\Delta\sigma_i\)，若 \(\exist J\in\R,\forall \epsilon>0,\exist\delta>0\)，\(\forall D\) 的分割 \(T\)，只要 \(\|T\|<\delta\)，$\forall $ 从属于 \(T\) 的介点集 \(\{(\zeta_i,\eta_i)\}_{i=1}^{n}\) 均成立
则称 \(f\) 在 \(D\) 上的二重积分存在（也称 \(f\) 在 \(D\) 上二重可积），记作
引理：设 \(f\) 是定义在有界闭矩形 \(I\) 上的一个有界函数，如果 \(\exist\) 一列开矩形 \(I_j,j\in\Z^+\) 使得 \(D(f)\sub \bigcup_{j=1}^{+\infin}I_j\)，其中 \(D(f)\) 为 \(f\) 在 \(I\) 上不连续点的全体，记 \(K=I-\bigcup_{i=1}^{+\infin}I_j\)，则 \(\forall \epsilon>0,\exist\delta>0,\forall\vec x\in K,\vec y\in I\) 且 \(\|\vec x-\vec y\|<\delta\) 时，有 \(|f(\vec x)-f(\vec y)|<\epsilon\).
命题
若 \(f:I\to\R\) 是一个有界函数，且 \(D(f)\) 是一个零面积集，则 \(f\) 在 \(I\) 上可积（其中 \(I\) 是一个有界闭矩形）。
性质
-
\[\iint_D1\mathrm dx\mathrm dy=A(D) \]
-
线性性
-
区域可加性：若 \(f\) 在 \(D_1,D_2\) 上可积且 \(A(D_1\cap D_2)=0\)，则 \(f\) 在 \(D_1\cup D_2\) 上可积且有可加性。
二重积分在直角坐标系中的计算
（二重积分化为累次积分）
命题：若 \(D=[a,b]\times[c,d]\)，\(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续（或只在一个零面积集上不连续），则 \(f\) 在 \(D\) 上二重可积，且有
命题：若 \(D\) 是一个 \(x-\)型区域（\(\{(x,y)\in\R^2|y_1(x)\le y\le y_2(x),x\in[a,b]\}\)，其中 \(y_1,y_2\) 是 \([a,b]\) 上的连续函数（或有有限多个不连续点）），又 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，则 \(f\) 在 \(D\) 上二重可积，且有：
\(y-\)型区域类似。
例：设 \(D=[0,1]\times[2,3],f(x,y)=x^y\)，计算 \(I=\iint_Df(x,y)\mathrm dx\mathrm dy\).
解：
这个没法积分，因此我们换一种：
例：\(D\) 是由直线 \(x=0,y=1,y=x\) 三条直线所围的平面有界闭区域，求二重积分 \(I=\iint_Dx^2e^{-y^2}\mathrm dx\mathrm dy\).
解：\(D=\{(x,y)\in\R^2|x\le y\le 1,x\in[0,1]\}=\{(x,y)\in\R^2|0\le x\le y,y\in[0,1]\}\).
格林公式
称连续单射 \(\varphi:[0,1]\to\R^n\) 为 \(\R^n\) 中的一条路径。
Green 定理
设平面有界闭区域 \(D\) 是由有限多条分段简单光滑封闭曲线所围，\(\part D\) 即为这有限多条分段简单光滑封闭曲线。指定 \(\part D\) 中封闭曲线的正向为当人沿着曲线的正向前进时 \(D\) 始终在人的左侧，又设 \(P(x,y),Q(x,y)\) 在包含 \(D\) 的一个开集 \(U\) 上由连续的一阶偏导函数，则有下述 Green 公式成立：
其实是以下两个公式分别成立：
证明见书。
一个简单应用：算面积
Jordan 曲线：若 \(T:[\alpha,\beta]\to\R^2\)，\(T\) 连续，\(T|_{(\alpha,\beta)}\) 是单射，\(T(\alpha)=T(\beta)\)，则称 \(T([\alpha,\beta])\) 是一条简单连续封闭曲线（简称 Jordan 曲线）。
平面 \(\R^2\) 上曲线积分与路径无关
设 \(O\) 是 \(\R^2\) 上一个开集，\(D\) 是包含于 \(O\) 的一个单连通有界闭区域，\(D\) 的边界是一条分段简单光滑曲线，\(P(x,y),Q(x,y)\) 在 \(O\) 上有连续的（一阶）偏导函数，则下述四个论述等价：
-
对于 \(\mathring D\) 中任意一条分段简单光滑的 Jordan 曲线 \(C\)，成立：
\[\oint_CP\mathrm dx+Q\mathrm dy=0 \] -
（曲线积分与路径无关）\(\forall \mathring D\) 中的任意两点 \(M_1,M_2\)，若 \(C_1,C_2\) 是 \(\mathring D\) 中任意两条从 \(M_1\) 到 \(M_2\) 的分段简单光滑的曲线，则成立：
\[\int_{C_1}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\int_{C_2}P\mathrm dx+Q\mathrm dy \] -
存在定义在 \(O\) 上的可微函数 \(U(x,y)\)，使得 \(\mathrm dU(x,y)=P\mathrm dx+Q\mathrm dy\).
-
\(\forall (x,y)\in \mathring D\)，成立：
\[\frac{\part Q}{\part x}(x,y)=\frac{\part P}{\part y}(x,y) \]
证：
-
\((i)\Rightarrow (ii)\)：（此处未用到单连通性）
\(\forall C_1,C_2\in\mathring D\)，\(\exist C_3\sub \mathring D\) 且 \(C_1\cap C_3=\{M_1,M_2\}=C_2\cap C_3\)，\(C_1^+\cup C_3^-\) 是一条分段光滑的 Jordan 曲线。
由 \((i)\) 知，\(\oint_{C_1^+\cup C_3^-}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=0\)，同理 \(\oint_{C_2^+\cup C_3^-}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=0\)，从而：
\[\int_{C_1^+}=\int_{C_3^+},\int_{C_2^+}=\int_{C_3^+} \] -
\((ii)\Rightarrow(iii)\)：
任意取定 \(M_0(x_0,y_0)\in\mathring D\)，令
\[U(x,y)=\int_{M_0}^MP\mathrm dx+Q\mathrm dy \]要证 \(\mathrm dU=P\mathrm dx+Q\mathrm dy\)，只需证 \(\frac{\part U}{\part x}=P,\frac{\part U}{\part y}=Q\)，以证明前者为例，下证 \(\frac{\part U}{\part x}(x_1,y_1)=P(x_1,y_1)\)。
\[\begin{aligned} &\frac{U(x_1+h,y_1)-U(x_1,y_1)}{h}\\ =&\frac{\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1+h,y_1)}P\mathrm dx+Q\mathrm dy-\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}P\mathrm dx+Q\mathrm dy}{h}\\ =&\frac{\int_0^hP(x_1+t,y_1)\mathrm dt}{h}\\ =&P(x_1+\theta h,y_1)&\exist\theta\in(0,1)\\ \to&P(x_1,y_1) \end{aligned} \] -
\((iii)\Rightarrow(iv)\)：
\[\frac{\part U}{\part x}=P,\frac{\part U}{\part y}=Q\\ \frac{\part P}{\part y}=\frac{\part^2U}{\part x\part y}=\frac{\part^2U}{\part y\part x}=\frac{\part Q}{\part x} \] -
\((iv)\Rightarrow(i)\)：
根据 Green 公式有：
\[\oint_CP\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_D\left(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y} \right)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_D0\mathrm dx\mathrm dy=0 \]
例：
如果包含无定义的原点，则积分不为 \(0\)（例，一个单位圆结果是 \(2\pi\)）；否则，若单连通则结果为 \(0\)。
二重积分的变量替换
设 \(T:\mathcal O_{uv}\to \mathcal O_{xy},(u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v))\) 是一个双射（稍强的条件：\(\forall(u,v)\in\mathcal O_{uv},\frac{\part(x,y)}{\part(u,v)}\neq 0\)），\(x(u,v),y(u,v)\) 在 \(\mathcal O_{uv}\) 上有连续的一阶偏导函数，
若 \(D_{uv}(\sub\mathcal O_{uv})\) 是一个可求面积的有界闭区域，则 \(T(D_{uv})\triangleq D_{xy}(\sub\mathcal O_{xy})\) 也是一个可求面积的有界闭区域，且有：
（可以划分成一个个小矩形进行不严格的推导理解）
进一步，若 \(f(x,y)\) 是定义在 \(T(D_{uv})=D_{xy}\) 上的一个连续函数，则有下述二重积分的变量替换公式：
例：若 \(T:\mathcal O_{r\theta}\to\mathcal O_{xy},(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)\)，\(D_{r\theta}\) 是平面上可求面积的有界闭区域，\(T(D_{r\theta})\triangleq D_{xy}\)，\(f(x,y)\) 在 \(D_{xy}\) 上连续。
例 [不太好的题目]：求 \(I=\iint_{D_{xy}}e^{\frac{x-y}{x+y}}\mathrm dx\mathrm dy\)，其中 \(D_{xy}\) 是由 \(x=0,y=0,x+y=1\) 所围成的有界闭区域。
坐标变换：
得到
故有
例：计算 \(\lim_{R\to+\infin}I_R=\lim_{R\to+\infin}\int_0^Re^{-x^2}\mathrm dx\)。
解：
记 \(D_R\) 为第一象限半径为 \(R\) 的四分之一圆弧和坐标轴围成的闭区域。
有：
用极坐标变换：
左边极限和右边极限均为 \(\frac{\pi}{4}\)，因此可得：
三重积分
三重积分及其计算
设 \(\Omega\) 是 \(\R^3\) 中的一个可求体积的有界闭区域。
\(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 中有定义。
将 \(\Omega\) “分割”成 \(n\) 个可求体积的有界闭区域 \(\Omega_1,\dots,\Omega_n\)，每个 \(\Omega_i\) 的体积记作 \(\Delta\Omega_i(i=1,\dots,n)\)。\(\forall i=1,\dots,n\)，令 \(\Omega_i\) 的直径为 \(\operatorname{diam}{\Omega_i}=\sup\{d(P_1,P_2)|P_1,P_2\in\Omega_i\}\)，再令 \(\|P\|=\max_{1\le i\le n}\operatorname{diam}(\Omega_i)\)。
\(\forall i=1,\dots, n\)，任取介点 \((\zeta_i,\xi_i,\eta_i)\in\Omega_i\)，作 Riemann 和 \(\sum_{i=1}^{n}f(\zeta_i,\xi_i,\eta_i)\Delta\Omega_i\)。若 \(\exist J\in\R,\forall \epsilon>0,\exist\delta>0,\forall\|P\|<\delta,\exist\) 介点集 \(\{(\zeta_i,\xi_i,\eta_i)\}\)，有：
则称 \(f\) 在 \(\Omega\) 上三重可积（简称可积），或称 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的三重积分存在，\(J\) 即为 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的三重积分值，记作
其中 \(\mathrm dV\) 又可以写作 \(\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\)，称作体积微元。
推广：若 \(f\) 有界，且在 \(f\) 上不连续点集体积为 \(0\)，则也可积。
性质：
-
\(\iiint_\Omega1\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=V(\Omega)\).
-
线性性：若 \(f,g\) 在 \(\Omega\) 上可积，\(\alpha,\beta\in\R\)，则
\[\iiint_\Omega(\alpha f+\beta g)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\alpha\iiint_\Omega f\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz+\beta\iiint_\Omega g\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz \] -
“区域可加性”：\(\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2\)，\(\Omega_1\) 与 \(\Omega_2\) 均为可求面积的且 \(V(\Omega_1\cap\Omega_2)=0\)，若 \(f\) 在 \(\Omega_1,\Omega_2\) 上可积，则 \(f\) 在 \(\Omega\) 上也可积，反之亦然。且 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的积分为在 \(\Omega_1,\Omega_2\) 上分别积分的和。
-
不等式性质：\(\forall(x,y,z)\in\Omega,f(x,y,z)\le g(x,y,z)\)，若 \(f,g\) 在 \(\Omega\) 上可积，有 \(\iiint_\Omega f\le \iiint_\Omega g\)（这是简写，并不规范）。
-
绝对值不等式：若 \(f\) 在 \(\Omega\) 上可积，则 \(|f|\) 在 \(\Omega\) 上也可积，进一步有不等式：\(|\iiint_\Omega f|\le \iiint_\Omega|f|\)。
-
若 \(f\) 在 \(\Omega\) 上连续，则 \(\exist (x^*,y^*,z^*)\in\Omega\)（\(\Omega\) 是连通的），使得 \(\iiint_\Omega f=f(x^*,y^*,z^*)\cdot V(\Omega)\)。
三重积分在直角坐标系中的计算
命题：设 \(\Omega=[a,b]\times[c,d]\times[\tilde a,\tilde b]\)，若 \(f\) 在 \(\Omega\) 上连续，则 \(f\) 在 \(\Omega\) 上可积，且有
（此处略去其余 \(5\) 种次序）
命题（“先一后二法”）：设 \(\Omega=\{(x,y,z)\in\R^3|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}\)，其中 \(D_{xy}\) 是 \(O_{xy}\) 平面上一个可求面积的有界闭区域，\(z_1,z_2\) 均在 \(D_{x,y}\) 连续（或不连续的地方面积为 \(0\)），若 \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 连续（或不连续点集体积为 \(0\)），则有
也可也是可向 \(O_{yz}\) 或 \(O_{zx}\) 平面上投影的区域，类似。
命题（“先二后一法”）：设 \(\Omega=\{(x,y,z)\in\R^3|z_1\le z\le z_2,(x,y)\in D_z\}\)，其中 \(D_z\) 是平面 \(z=k\)（\(k\) 是常数）上的一个可求面积的有界闭区域，\(D_z=\{z=k\}\cap\Omega\)。若 \(f\) 在 \(\Omega\) 上连续，则
其余两种类似。
例：求 \(I=\iiint_\Omega z\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\)，其中 \(\Omega\) 为第一卦限中圆柱面 \(y^2+z^2=1\) 与平面 \(y=x\)，平面 \(x=0\) 所围的楔形体。
解：
因此：
接下来可以用极坐标系或者直接算也可以。
例：求 \(I=\iiint_\Omega(1-z)^{2025}\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\)，其中 \(\Omega\) 为四面体，\(x\ge0,y\ge0,z\ge0,x+y+z\le 1\).
解：\(\Omega=\{0\le z\le1,(x,y)\in D_z\}\).
命题：设 \(T:\mathcal O_{uvw}\to\mathcal O_{xyz}\) 是一个双射。
\(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\) 在 \(\mathcal O_{uvw}\) 上有连续的一阶偏导数，且 \(\forall(u,v,w)\in\mathcal O_{uvw}\)，有 \(\frac{\part (x,y,z)}{\part(u,v,w)}\neq 0\).
设 \(\Omega_{uvw}\sub\mathcal O_{uvw}\)，且 \(\Omega_{uvw}\) 是可求体积的，则有 \(T(\Omega_{uvw})\triangleq\Omega_{xyz}\) 也是可求体积的。
进一步，若 \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega_{xyz}\) 上连续，则有
例：柱面坐标变换
可得：
例：球面坐标变换
故：
曲面浅谈
三种常用的曲面表示：
- 显式表示：\(z=f(x,y),(x,y)\in D\).
- 隐式表示：\(S=\{(x,y,z)\in\R^3|F(x,y,z)=0\}\).
- 参数表示：\(S=\{(x,y,z)\in\R^2|x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)\}\).
定理：设 \(S\) 是一个简单光滑的参数曲面，且有一个简单光滑的参数化：
其中 \(D\in\mathcal O\)，且 \(\mathcal O\) 是 \(uv\) 平面上的一个开集，\(D\) 为 \(uv\) 平面上的一个可求面积的有界闭区域，则 \(S\) 可求面积。
\(T:\mathcal O\to\R^3,(u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 是一个单射，且 \(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\) 在 \(\mathcal O\) 上有连续的一阶偏导函数。
\(S\) 的面积为：
例：求半径为 \(R(>0)\) 的球体的表面积。
解：\(A(S)=8A(S_1)\)，其中 \(S_1\) 是球在第一卦限的部分（中心在原点）。
可得：
所以：
例：\(z=f(x,y)\)，有一个参数化 \(x=u,y=v,z=f(u,v)\)，则：
证明略去。
曲面积分
第一型曲面积分
设 \(S\) 是一张（可求面积的，简单光滑曲面一定可求面积）简单光滑的参数曲面，\(f:S\to\R\) 是一个函数，对 \(S\) 作分割 \(T=\{S_1,\dots,S_n\}\)，\(\forall i=1,\dots, n\)，令 \(\Delta S_i=A(S_i)\)，再令 \(\|T\|=\max\{\operatorname{diam}(S_i)\}\)，再在每个 \(S_i\) 中选取一点 \(P_i,i=1,\dots, n\)，若 \(\exist J\in\R\) 使得 \(\forall \epsilon>0,\exist\delta>0,\forall\|T\|<\delta,\forall \{P_i\}\) 成立：
则称 \(f\) 在 \(S\) 上的第一型曲面积分存在，记作：
性质：
- \(\iint_S1\mathrm dS=A(S)\).
- 线性性。
- “区域可加性”：\(S=S_1\cup S_2,A(S_1\cap S_2)=0\)，\(f\) 在 \(S_1\) 和 \(S_2\) 上分别“可积”，则 \(f\) 在 \(S\) 上也可积，且有 \(\iint_Sf\mathrm dS=\iint_{S_1}f\mathrm dS+\iint_{S_2}f\mathrm dS\).
计算公式
设 \(S\) 是一张简单光滑参数曲面，映射 \(\vec r:\mathcal O\to\R^3,(u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 是单射，且 \(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\in C^1(\mathcal O)\)，\(D\) 是包含于 \(\mathcal O\) 的一个可求面积的有界闭区域，\(S=\vec r(D)\)，\(f(x,y,z)\) 在 \(S\) 上连续，则 \(f\) 在 \(S\) 上第一型曲面积分存在且有：
第二型曲线积分
引入
设空间开域 \(\Omega\) 中有一稳定流体，其流速为 \(\vec v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\)，\(\Omega\) 中有一张双侧曲面 \(S\)，其正侧的单位法向量为 \(\vec n^\circ=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)，计算单位时间内从负侧流向正侧的流体总流量 \(H\)。
相关定义
正则曲面（或光滑曲面） \(S\)：\(S\) 有一个参数化 \(\vec r:\begin{cases}x=x(u,v),\\y=y(u,v),\\z=z(u,v),\end{cases}(u,v)\in\mathcal O\)，其中 \(\mathcal O\) 是 \(uv\) 平面上的一个开集，\(D\) 是包含于 \(\mathcal O\) 中的一个可求面积的有界闭区域，\(S=\vec r(D)\)，\(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\) 在 \(\mathcal O\) 上有连续的一阶偏导数，且 \(\forall (u,v)\in\mathcal O,\vec r_u\times \vec r_v\neq 0\)。若 \(\vec r\) 是单射，则称 \(S\) 为一个简单曲面。
命题：简单正则曲面必是双侧曲面。（\(\vec n=\pm\frac{\vec r_u\times \vec r_v}{\|\vec r_u\times \vec r_v\|}\)）
第二型曲面积分
设 \(S\) 是 \(\R^3\) 中一张可求面积的单位法向量为 \(\vec n^\circ=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)。记 \(S\) 的正侧为 \(S^+\)（或 \(+S\)），记 \(S\) 的负侧为 \(S^-\)（或 \(-S\)）。不引起混淆的情况下，正侧的加号可以不写。
则 \(S\) 是一张指定了正侧的曲面，若有一个定义在 \(S\) 上的三元实值函数 \(P(x,y,z)\)，且 \(\iint_{S}P(x,y,z)\cdot \cos\alpha\mathrm dS\) 存在，则称 \(P\) 沿着曲面 \(S\) 的正侧对 \(yz\) 坐标的曲面积分存在，记作
其中 \(\and\) 为楔形积符号，可简写作：
其余类似。
称 \(\iint_{S^+}P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy\) 为向量值函数 \((P,Q,R)\) 沿着曲面 \(S\) 的正侧的第二类型面积分。
计算方式
设 \(S\) 是一张简单光滑（参数）曲面，\(\vec r:\begin{cases}x=x(u,v),\\y=y(u,v),\\z=z(u,v)\end{cases},(u,v)\in D(\sub)\mathcal O,S=\vec r(D)\)。指定 \(\frac{\vec r_u\times \vec r_v}{\|\vec r_u\times \vec r_v\|}\)，（或 \(-\frac{\vec r_u\times \vec r_v}{\|\vec r_u\times \vec r_v\|}\)）为 \(S\) 正侧的单位法向量，\(\vec r_u\times \vec r_v=\left(\frac{\part(y,z)}{\part(u,v)},\frac{\part(z,x)}{\part(u,v)},\frac{\part(x,y)}{\part(u,v)}\right)\)。于是代入第一型曲线积分的公式，可得：
（也可以有一个零面积集不是”简单“的）
例：计算第二型曲面积分
其中 \(S+\) 为球面 $x2+y2+z2=R2(R>0) $ 的外侧。
解：\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2\)，发现 \(\vec n=(F'_x,F'_y,F'_z)=(2x,2y,2z)\) 正好是 \(S^+\) 的法向量，\(\vec n^\circ =\frac{(2x,2y,2z)}{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}}=(\frac xR,\frac yR,\frac zR)\)。
Gauss 定理
(Gauss 公式，高斯定理)
设 \(K\) 是 \(\R^3\) 中由一个分片简单光滑的双侧封闭曲面 \(S\) 所围的立体，\(\vec n^\circ\) 为 \(S\) 的外单位法向量，\(\mathcal O\) 是一个包含 \(K\) 的开集，\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\) 在 \(\mathcal O\) 上有连续的一阶偏导函数，则有下述 Gauss 定理成立：
（其实是上面三组分别相等，可以分开用）
设 \(\vec F:\mathcal O\to\R^3,(x,y,z)\mapsto(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\).
\(\frac{\part P}{\part x}+\frac{\part Q}{\part y}+\frac{\part R}{\part z}\) 为 \(\vec F\) 在 \((x,y,z)\) 处的散度，记作 \(\operatorname{div}(\vec F)\)。
Stokes' Th（斯托克斯定理）
设 \(S\) 是一张以一条分段简单光滑的简单封闭曲线 \(\part S\) 为边界的分片简单光滑的双侧曲面。若指定 \(S\) 的正侧，则 \(\part S\) 的正向由 \(S\) 的正侧通过“右手法则”诱导而得。
\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\) 在包含 \(S\) 的一个开集有连续的一阶偏导函数，则有下述 Stokes 公式成立：
注意，楔形积有性质：\(\mathrm dx\and\mathrm dy=-\mathrm dy\and\mathrm dx\)。
也可以用：
然后将 \(\mathrm dP\) 展开成 \(\frac{\part P}{\part x}\mathrm dx+\frac{\part P}{\part y}\mathrm dy+\frac{\part P}{\part z}\mathrm dz\)，其余类似，乘开即为上面的 Stokes 公式。
下面只证 \(\oint_{\part S}P\mathrm dx=\iint_S\frac{\part P}{\part z}\mathrm dz\and\mathrm dx-\frac{\part P}{\part y}\mathrm dx\and \mathrm dy(*)\)。假设 \(S\) 有一个 \(C^2\)（二阶光滑）类参数化（一阶光滑可以用二阶逼近，此处略去）
\(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\) 在 \(\mathcal O\) 上连续的二阶偏导函数。
指定 \(S\) 正侧的单位法向量 \(\vec n^\circ=\frac{\vec r_u\times \vec r_v}{\|\vec r_u\times \vec r_v\|}\overset{记作}{=}(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)。
\((*)\) 右边为：
其中 \(p(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\)，注意到
经过计算与 \((*)\) 右边相等。
对 \((+)\) 运用 Green 公式，其等于：
旋度
\(\vec f=(P,Q,R)\)，定义 \(\vec f\) 的旋度为
记
有
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