2026省队集训

• 4.25 杂题选讲

今日的内容是杂题选讲，但是还是分为了几个专题

1.FWT相关

由于实力不足，在昨天晚上预习了整整一个晚上之后依然就连模板都没有弄明白，所以在上课时还是一点都听不懂。

2.dp of dp

大概的思想就是对于dp状态进行dp，但是其实本质上就是压缩dp状态。而课件上讲的是自动机dp，所以也是将dp的转移转化为类似于自动机上的转移，将可行的有限的状态看做是自动机上的节点进行转移。

3.meet in the middle

其实就是类似于dfs的优化，一般情况下对于大量的搜索考虑进行折半，可以将搜索量降为 \(O(n ^ {\frac n 2})\)，而比如例题中就是降为了 \(O(n ^ {\frac n 3})\)。

4.图容斥

不太听到懂，大概的思想就是状压，考虑容斥，抓住图的性质。

总体来说，第一次听还是有一些懵，一些比较抽象的东西还是比较难以消化，但是还是收获到了一些思想。

• 4.26 组合计数

今天主要是讲一些计数题，但是由于一开始难度就比较大，实在难以听懂，没什么收获，可是从模拟赛时感受到了计数的重要性，觉得应该要自己在多练练。

• 4.27 模拟赛1

由于比赛经验不足，所以导致应为第一题被看了很久，发现第一题不可做之后才看后面的题。对于第二题有一个想法，由于是最后十分钟想到的而且还不成熟就没有实现。

题意：给定正整数 \(n\) ，和长度为 \(2^n\) 的两个数组 \(f\) 和 \(F\)，求：

\(\sum _ i \sum _ j f_i \times f_j \times F_{i \& j} \times F_{i \| j}\)

考虑构造两个数组 \(a\) 和 \(b\)，使得 \(F_i = \sum _ {d \in i} a_d\) , \(b_d = \sum _ {d \in i} F_i\)。

所以原式就变为了 \(\sum_i \sum_{j \& j \in i} a_i \times b_j \times \sum_{i \in t \in j} f_j\)。

枚举 \(a_i\) 和 \(b_i\) ，然后高位前缀和求后面一部分即可，复杂度 \(O(3 ^ n n)\)。

• 4.28 好题分享

只讲我认为最棒的一道题，因为大部分都听不懂。

qoj6661，题意：

有一个 n 个位置的圆桌，每个位置上都写着一个 \([0,n − 1]\) 内的整数，
且互不相同。每个位置上都有一个人。在接下来的三天内：
第一天，每个人会看到自己位置上以及右边位置上的数，并同时独立
修改自己位置上的数。
第二天，每个人会看到自己位置、左边位置以及右边位置上的数，并
同时独立修改自己位置上的数。
第三天，每个人会看到自己位置、左边位置以及右边位置上的数，并
同时独立修改自己位置上的数。
你需要制定一个策略，使得在第三天结束后，任意两个相邻位置上的
数都不同，且全场至多只有 3 种不同的数。
注意，在同一天内，所有 \(n\) 个人的策略应当是完全相同的。也就是说，
如果两个人视野范围内的数完全相同，他们应当作出同样的修改。

优秀的构造：

考虑如何进行构造两个函数，使得 \(a \not = b\) 有 \(f(a , b) \not = f(b , c)\) ，然后就是有启发意义的一步，设 \(f(x , y)\) 为 \(x\) 与 \(y\) ，在二进制位下的第一个 \(x\) 在这位上是 \(1\) 而 \(y\) 是 \(0\) 的位置，这样就一定能保证上面这种情况。但是这样可能就会出现一种问题，那如果有 \(x \in y\) 怎么办？我们考虑给每一个值映射到一个新的数，设的两两不重即可，直接保证每一个数的 popcont 一定即可。

考虑前两步可以不断地压缩，但是至多只能到4，而第三步引文可以看到两边的数，让所有的4变成与另外两个数不同的很简单。

这些构造对于思维的启发还是很大的，比较值得去回味一下。

• 4.29 模拟赛2

考试策略依旧不足，对于题目也还是没怎么弄明白，但还是有一点收获。

对于第二题中求：\(S(n) = \sum_{i = 1}^{n} i ^ k\)

首先有一种方法是我们可以利用拉格朗日插值在 \(O(k)\) 的时间内求出一个 \(S(n)\)。

而因为 \(i ^ k\) 是积性函数，所以利用线性筛可以在 \(O(n)\) 的时间内求出前 \(n\) 个 \(S(n)\) 。

对于求取 \(S(\frac n d)\) 这种时当 \(n\) 很大时就可以考虑分类讨论。

• 4.30 模拟赛3

难度递增，t2，t3都看不懂，但是t1还是比较有意思的。

题意：构造三个排列 \(a_i\) 和 \(b_i\) 和 \(c_i\) 使得 \(|\sqrt a_i + \sqrt b_i + \sqrt c_i - 2 \times \sqrt n| \le 2.5\)

好像有很多乱搞做法，但是正解真的很巧妙。

考虑当 \(n = C_{m} ^ {2}\) 时有 \(n = 1 + 2 + 3 + \dots + m\)

考虑构建出三个三角形：

然后我们发现讲这三个三角形重合不就是了吗，amazing！

那如果不是 \(C_{m} ^ {2}\) 怎么办，扣掉一部分就行了。

• 5.2 特殊题目

https://www.cnblogs.com/znstz2018/p/18695755

qoj6669

如果只是普通的以二进制编码的方式进行传入，长度一定是6000级别的。

我自己的想法：因为题目保证每一个 \(a_i\) 不同，所以可以只传入奇数位的 \(a_i\) ，长度就变成了4500，但是好像没什么拓展空间。

正解是考虑一种神秘的角度，被这种传入看作是一种函数形式，只需构造一种函数的形式吧每个 \(a_i\) 都找到与之对应的 \(b_i\) 即可，于是使用拉格朗日插值，应为构造了一个 n-1 次的多项式，传入100个整数即可。那除法怎么办呢？对于 1e9 + 7 取模即可。（太难想到了）

暂时还没回顾完，简单谈谈感想

很多都是比较妙的题，但还是会有一些技巧，例如 qoj3098 推性质再结合通讯题的模式进行作答，而 qoj64 这种就是考察你对于一种算法的透彻应用，十分有趣。

还是要练练这种交互形式的构造和通讯传输的技巧，对于思维也是很大的帮助。

• 5.3

dp

主要的收获是见到了很多之前没见过的东西，例如点分治优化背包，退背包，线头之类的。

谈谈感想，dp的难题主要就是状态的设计与优化，一旦转移也就会运用一些trick，还是可以多见见题目。

数据结构

感觉放的题目不是很好，主要困难的部分都不是数据结构的东西。

看完之后主要的感受就是多见识还是太重要了，因为之前看过了树分块的博客，所以秒了第一道互测，而后面放的SAM感觉就是听懂了一部分但还是有很多问题，就连一道点分树的不困难题都看不出来了……

数据结构在近几年的大赛中出现的频率还是太高了，需要重点练习一下。

• 5.4

图论

这次是杂题选讲，选的题目都是非常不错的。第一道题目的隐式建图很具有启发意义，也是学习到了很多图论的思想：

优化建图。这其实是有很多方面的，例如线段树优化建图的时间与空间的优化，IOI2019 Sky Walking 中的优化也是有些巧妙的，通过减少图上过多的状态来达到对于核心信息的保留，发现例如之后的 AT_pakencamp_2018_day2_g Grand Graph 对于图的性质的发掘以此来达到简单的操作。

字符串

说实话感觉内容太多了，而且都不是很简单，没太的听明白。

• 5.5 模拟赛4

后面两题太仓促了，一点没听懂，看到第二题的 FWT 就不知道是什么了。

说说对于第一题的感想，一道很不错的字符串题，但是我确实是不会。这题对于AC自动机的理解太够深刻了，对于串的匹配也是我难以想到的，将自动机看做是图然后来进行缩点，也是我之前从未有想到的，还是对于字符串这块的理解太过薄弱也是学的不够深刻。

感想

总体来说的话呢，感觉对于这些高层次的知识点是一点没见过，考试上对于自己不会的题目也是不能很好的处理，多见见东西，多看看题目，不能太过盲目的只是做题，对于好题要进行梳理和总结，接下来要好好的沉淀下来，努力提升水平，对于这次学习进行好好的梳理，把遗留下来的大量题目进行研究。