基波分量的快速算法

        电力系统线路信号为 50HZ的交流正弦（余弦）信号。对这个信号进行一个周期的一路信号进行采样，再进行离散傅立叶变换，可以得到这个时刻的频域信息。

其中，电力系统向量计算就是求出同一时刻所有线路的基波（ 50HZ频域分量）相位，进行快速的向量计算是提升电力系统测量控制系统性能的一大关键。

        离散傅立叶变换公式为：

N为离散时间序列的点数，称为为旋转因子，是频率转换算子。进行离散傅立叶变换即可得出采样频率 N等分点的频域信息。

        可看出其算法复杂度为 (N² )，计算量非常大。而现实中人们采用快速傅立叶变换 FFT来进行计算的改进。改进思路就是从旋转变量的性质出发，进行乘法的缩减，形成迭代运算。

旋转变量的性质有：

其中基 2FFT算法运用周期性(1)和半周期对称性 (3)可将算法复杂度减小为(N*log₂N) ，在这基础上再利用半周期共轭性质 (2)的基4FFT 算法可将算法复杂度减小为 ((N/2)*log₂N)。

        向量计算中因为只需要 50HZ处的频域信息，因此做FFT得到全部的 N点频域信息会造成计算量的浪费。这里假设对线路采样为一个周期 2000点，即采样频率为100Khz。经过一个周期的采样，对 2000点等间隔选取128点进行 FFT运算，得到一个相位信息。实际上 50HZ的信息就是FFT运算后的第二点，向量合成只需要这一点的信息就可以。

        基波相位信息即 k=1 的离散傅立叶变换：

其旋转因子为复平面单位圆上的以 (1,0)为起始点的N等分点：

可以看出其运算复杂度变为 (N)，已大大小于N点 FFT。再利用半周期对称性(2)，可将运算复杂度降为 (N/2)，相当于只用进行下半圆周的旋转因子乘法运算。再观察下半圆周的旋转因子分布，可看出前后 1/4周期的旋转因子关于虚轴对称，即实部相反、虚部相等，这样就可以将运算复杂度降为 (N/4)，再加上两个1/4周期的起始点 (1,0)与(0,-j) 处是不用进行乘法运算的，这样计算效率又可以得到提升。

使用这一算法的另一个好处是，采样点的个数选取更为灵活，选取 N=4M即可，不用选取N=2^M或N=4 ^M以配合基 2FFT以及基4FFT 。

运用这种算法，再配合DSP芯片的高性能乘法运算已经内置的旋转变量数据表，可以获得高性能的向量计算效果。