数字图像处理-傅立叶变换
对于图像频率域的处理是在傅立叶变换基础上的。为了能更好地理解频域滤波等，一定要搞懂傅立叶变换。花了几天时间觉得懂的差不多了，特地用大白话记下来。尤其是我在学习过程中，网上各种博客里抽象的，刚开始看不懂，后来理解的，都用大白话记下来。
以下是个人理解，若有不对之处，烦请各位指正！感谢！
1.傅立叶变换是什么？
傅立叶变换是将时间域转换为频率域的工具。对傅立叶变换详细、简明的说明，强推这篇文章 韩昊-傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
2.二维图像的傅立叶变换
首先要知道一幅数字图像的两个域：空间域和频率域。空间域说白了就是一个一个的格子，之前的图像处理方法都是在空间域上完成的（单个像元，相邻像元）。
频率对于声音、光等这种波很好理解，但对于图像这样一个二维信号该怎么理解频率呢？物理上，频率描述的是信号变化的速度。那么图像的频率描述的当然是图像灰度值（像元值，在DEM中是高程值，在遥感影像中是DN值，或者反射率等）变化的速度。
“图像的频率是表征灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度”。举个例子，就像平原高度变化平缓，频率低；丘陵高度变化剧烈，一会儿高一会儿低，频率高。在图像上，边缘、噪声等灰度变化剧烈，是高频分量；图像内部灰度变化平缓，低频分量。
因此，在频率域，可以去除噪声，识别边缘。傅立叶变换就是将空间域转换为频率域的工具。利用傅立叶变换可以将图像灰度矩阵变为频度矩阵。频度矩阵中，高频表示细节，低频表示概貌，如果我们只想要概貌，可以过滤掉高频细节。如果想要压缩存储，也可以去除高频分量。
一马平川（低频） 高低不平（高频）
2.1 二维傅立叶变换公式
二维傅立叶变换实际上是：
将二维图形f(x,y)分解成一系列平面波的和，其中在x方向角频率是u、在y方向角频率是v的平面波的幅度和相位用F(u,v)表示 灵剑
变换完，中心是两个频率（x，y）都为0（直流分量），越靠近中心，两个方向的频率越低，合成的频率与到中心的距离成正比，所以中心是低频分量，外部是高频分量
我的理解：一个图像大概就像丘陵一样，像元值看作高度。这个‘丘陵’可以由一系列平面波的和组成，平面波有两个频率（x方向，y方向）。（不知道我这样理解准不准确？
越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大
2.2 二维离散傅立叶变换公式
f(x,y)是大小为M*N的图像
此处推荐《数字图像处理的MATLAB》——冈萨勒斯。这本书里有详细介绍
原点两个频率都为0，越靠近原点，频率越低
变换后的结果是复数，为了直观分析，要计算频谱（即幅度，复数的模）。
另外，DFT在u，v方向上是无穷周期的，周期由M和N决定。计算时，仅计算一个周期，即仅处理尺寸为M*N的数组。
二维DFT得到下图的结果
虚线矩形表示周期循环，阴影区域F(u，v)的值包括了4个背靠背的四分之一周期。
在这幅图中阴影部分就代表了，DFT后的频率矩阵。4个点的模（幅度）比中间黑点的模（幅度）大，即四周比中间大。为什么这样我还没搞明白，但是matlab实验后的结果是这样的。可以自己动手选个行列数小的图像试试看。
频谱中心化就是要将四周（低频高幅度）移到中间。如果a = [1 2；3 4]，中心化后为[4, 3；2 1]
频谱边缘化就是反过来
正弦波，三角函数除了一般的表达形式外，还可以用复数形式（唯一的）表达。参考一，参考二
所以，DFT的结果为复数形式，该形式保留的波的所有信息，所以逆DFT可以还原图像信息。
了解到的知识差不多就这些，够理解二维图像的傅立叶变换了。下篇写频域滤波。
