[数据结构-查询区间最小值小结(RMQ问题(Range Minimum Query)）]

查询区间第k大可以用划分树，而查询区间最小（最大）值可以用代码更简单的Sparse-Table（ST）算法（Tarjan发明）。

原理很简单，代码也很短：

令d(i,j)表示从i开始的，长度为2^j的一段元素最小值，那么可以用递推方法计算：

d(i,j) = min( d(i,j-1) ， d(i+2^(j-1) , j-1) )

void RMQ_init(const vector<int>& A)  {
    int n=A.size();
    for(int i=0;i<n;i++) d[i][0]=A[i];
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++) 
        for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
            d[i][j]=min(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询操作也很简单。查询区间[L,R]内最小值：令k为满足2^k<=R-L+1的最大整数，则以L开头、以R结尾的两个长度为2^k的区间合起来就覆盖了整个[L,R]区间。

int RMQ(int L,int R) {
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++;
    return min(d[L][k],d[R-(1<<k)+1][k]);
}

 

 

下面的代码预处理了mm数组，它表示k的值，所以速度更快：

const int MAXN = 50010;
int dp[MAXN][20];
int mm[MAXN];
//初始化RMQ, b数组下标从1开始，从0开始简单修改
void initRMQ(int n,int b[])
{
    mm[0] = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        mm[i] = ((i&(i-1)) == 0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        dp[i][0] = b[i];
    }
    for(int j = 1; j <= mm[n]; j++)
        for(int i = 1; i + (1<<j) -1 <= n; i++)
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}