拉格朗日反演

参考 command_block 的多项式。

https://www.luogu.com.cn/article/oy8l7j3n

考虑 \(G(x),F(x)\) 互为复合逆，且没有常数项，\([x]F\) 和 \([x]G\) 非 \(0\)。

基础形式

\([x^n]G=\frac{1}{n}[x^{-1}]F^{-n}\)

类似的

\([x^n]G=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{F})^n\)

proof

引理：\([x^{-1}]F'F^n=[n=-1]\)

证明: 考虑 \(F=xH\)，那么 \(H\) 有常数项，那么就变成了 \([x^{-1}]F'x^nH^n\)，若 \(n\not=-1\)，这之中一定没有 \(-1\) 项，否则就为 \(1\)。

\[\begin{align*} G(F(x))&=x \\ \sum_i G_iF^i&=x\\ \sum_i G_iiF'F^{i-1}&=1\\ \sum_i G_iiF'F^{i-n-1}&=F^{-n}\\ [x^{-1}]\sum_i G_iiF'F^{i-n-1}&=[x^{-1}]F^{-n}\\ [x^{-1}]\sum_i G_iiF'F^{i-n-1}&=[x^{-1}]F^{-n}\\ \sum_i G_ii[i-n-1=-1]&=[x^{-1}]F^{-n}\\ G_nn&=[x^{-1}]F^{-n}\\ G_n&=\frac{1}{n}[x^{-1}]F^{-n}\\ \end{align*} \]

拓展 1

考虑一个无要求幂级数 \(H\)。

使用上面类似的证明可以得到

\[[x^n]H(G(x))=\frac{1}{n}[x^{-1}]H'F^{-n} \]

拓展 2

\[[x^n]H(G(x))=[x^{-1}]HF^{-n-1}F' \]

proof

设 \(T(x)=H(G(x))\)。

\[\begin{align*} [x^n]H(G(x))&=\sum T_i[i-n-1=-1]\\ &=\sum T_i[x^{-1}]F'F^{i-n-1}\\ &=[x^{-1}]F'F^{-n-1}T(F)\\ &=[x^{-1}]HF'F^{-n-1}\\ \end{align*} \]