网络流补漏

最小割模型

最大权值闭合图，即给定一张有向图，每个点都有一个权值（可以为负），你需要选择一个权值和最大的子图，使得子图中每个点的后继都在子图中。

• 对于一个正权点，连边 \((s,u,val_u)\)。
• 对于一个负权点，连边 \((u,t,-val_u)\)。

答案为所有正权点权值和-最大流。

Johnson 全源最短路径算法

考虑对有负权的边跑全源最短路。考虑更改边权使边权都为正数，且答案不变。

先建一个 0 节点，连向所有点边权为 0，跑 spfa 得到每个点的 h_i 距离 0 的最短路，把边权改成 \(w_i\leftarrow h_u+w_i-h_v\)，然后对 \(s\) 为起点跑单元最短路，实际上 \(s\) 到 \(t\) 的最短距离就是 \(dis_t-h_s+h_t\)。

• 考虑路径 \(v_1,\ldots,v_m\)，路径距离为 \(h_{v_1}+w_1-h_{v_2}+h_{v_2}+\ldots\)，得到 \(h_{v_1}-h_{v_m}+\sum w_i\)。
• 因为最开始跑的最短路所以 \(h_v\le h_u+w_i\)，所以 \(h_u+w_i-h_v\ge 0\)。

Primal-Dual 原始对偶算法

跑费用流瓶颈在于每次求最短路。可以利用 Johnson 全源最短路算法，但是每次可能会新加入一些反向边。

考虑对已经被修正的边权跑完一遍流，求出 \(h_i\) 为点 \(s\) 到点 \(i\) 的最短路（此处为被修正的边权）。再把所有边权 \(u\to v\) 改为 \(h_u+w_i-h_v\)。合法证明：

• 对于原有的边肯定合法，上面有说明。
• 只有被增广的边才可能出现反向边，发现 \(h_u+w_i=h_v\)，即 \(h_u+w_i-h_v=0\)，那么正/反边权都为 0 了。

复杂度 \(O(nm+fm\log m)\)。

有负环的费用流

对于所有负边直接让它跑满流，然后建出反向边，跑满流相当于给定一个下界，直接跑上下界费用流即可。负权边都满流了那肯定没负环了。