分圆多项式

因式分解 \(x^n-1\)。

首先 \(x^n-1=\prod_{i=0}^{n-1} (x - \omega_n^i)\)，这个容易证，不细写了。

如果 \(gcd(i,j) = 1\)，那么称 \(\omega_i^j\) 是本原单位根。容易知道 \(w_n^z=w_{n/gcd(n,z)}^{z/gcd(n,z)}\)，并且 \(w_n^z\) 只有化解为后者才是本原单位根。

设 \(\phi(x)=\prod_{i<x,gcd(i,x)=1} (x - \omega_x^i)\)，可以推过上面推论得到

\[x^n-1=\prod_{d|n}\phi(d) \]

两边同取 \(\ln\):

\[\ln(x^n-1)=\sum_{d|n}\ln(\phi(d)) \]

考虑莫比乌斯反演得到

\[\ln(\phi(d))=\sum_{n|d}\ln(x^n-1)\mu(d/n) \]

两边 \(\exp\) 回去：

\[\phi(d)=\prod_{n|d}(x^n-1)^{\mu(d/n)} \]

可以证明得到 \(\phi(d)\) 是个整数系数多项式，设 \(\phi(d)=A/B\)，发现 \(A,B\) 的常数项都是 \(\pm 1\)，那么多项式除法之后系数就都是整数了。

至于 \(\phi(d)\) 的不可约性还不会证，还有其它的东西不会证明/ll。

总结一下：

\[\phi(n)=\prod_{d|n} (x^d-1)^{\mu(n/d)} \]

\[(x^n-1)=\prod_{d|n} \phi(d) \]