集合幂级数与子图连通问题

参考 cxy APIO 课件和 lgx 不知道从哪里搞来的什么课件，还有网上的众多博客。

集合幂级数

通俗讲就是状压。

可以用 FWT 进行一些简单运算，比如 OR/XOR/AND 卷积。

子集卷积

即求 \(H_S=\sum_{T\in S} F_TG_{S/T}=\sum_{A\ \text{or}\ B = S,A\ \text{and}\ B=\empty}F_AG_B\)。\(A\ \text{and} \ B=\empty\) 相当于 \(|A|+|B|=|S|\)，那么可以将 \(F,G\) 按照大小分成 \(n\) 组，然后对于每个大小分别 FWT，得到 \(H\) 按照大小分成 \(n\) 组的结果，对于 \(H_S\) 取 \(H\) 中大小为 \(|S|\) 的组中的 \(S\)，复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

子集卷积逆

要求 \(A_0=1,C_0=1\)。

已知 \(A\times B=C\) 和 \(A,C\)，求 \(B\)。设 \(A^{-1}\) 使得 \(A\times A^{-1} = 1\)，明显 \(A\times B \times A^{-1}=C\times A^{-1}\)，利用组合意义理解一下就满足交换律 \(B=C\times A^{-1}\)。

那么已知 \(F\)，求出 \(G\) 使得 \(F\times G=1\)，考虑暴力计算：

\[G_S=\frac{[S=\empty] - \sum_{T \subsetneq S}G_TF_{S-T}}{F_0} \]

复杂度 \(O(3^n)\)，考虑分子右边的式子可以利用半在线的子集卷积处理即可，复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

\(\exp\)

要求 \(F_0=0\)。

\[H=\sum_{i=1}^{n}\frac{F^i}{i!} \]

设 \(f_i\) 只保留 \(F\) 中大小为 \(i\) 的 \(S\) 并乘上 \(i\)，那么可得以下式子：

\[ig_i=\sum_{j=1}^{i} f_jg_{i-j} \]

用子集卷积做。复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

\(\ln\)

要求 \(G_0=1\)。

\(\ln\) 为 \(\exp\) 的逆。

\(g=\exp(f),f=\ln(g)\)，考虑 \(\exp\) 的式子，可以转化为：

\[ig_i=f_ig_0 \sum_{j=1}^{i-1}f_jg_{i-j} \]

\[f_i=ig_i-\sum_{j=1}^{i-1}f_jg_{i-j} \]

用子集卷积做。复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

多项式复合集合幂级数

对于子集卷积，\(\exp,\ln\) 都属于复合，统一表示即为 \(F=\sum_{i=0}^n f^ih_i\)。

如何挨个计算 \(f^i\) 复杂度 \(O(2^nn^3)\)。可以设 \(H_i=H_{i-1}\times f+h_{n-i}\)，不过这样复杂度还是不变，考虑让 \(f\) 的加入顺序为按照 \(\max{S}\) 从小到大加入，此时 \(h_i\) 变为 \(i!h_i\)，那么 \(H_i\) 的大小就是 \(2^i\)，进行卷积的时候考虑枚举 \(f\) 的 \(max{S}\) 卷即可。复杂度 \(O(\sum_{i=1}^n 2^ii^2)=O(2^nn^2)\)。

所以搞了半天你告诉我 \(\ln,\exp\) 直接用复合做就好了。但是直接用子集卷积做 \(\ln,\exp\) 比用复合的方式做常数更小。复合常数是大约是卷积的 \(1.5\sim 2\) 倍。

\(\exp,\ln\) 组合意义

\(\exp\) 可以理解为对 \(S\) 进行划分成 \(S_1,\ldots,S_k\) 的权值和 \(\prod_{i=1}^k f_{S_i}\)。\(\ln\) 就是反过来？

连通问题

以下问题都是：

给定一个无向图，对于每个子图，求有多少种选边(子图内的边)方案使得该子图是“?”。

连通图

设答案为 \(f\)。对于一个任意的选边方案，可以产生若干连通块，选边方案总数为 \(g_S=2^{ed(S)}\)，知道 \(g=\exp f\)，那么 \(f=\ln g\)，求出即可。

连通二分图

设答案为 \(f\)，考虑对 \(S\) 中的点黑白染色，那么染色方案为 \(2^{连通块数量}\)，求出 \(S\) 的所有连边的黑白染色方案和，即 \(g_S=\sum_{T\subsetneq S}2^{ed(S)-ed(T)-ed(S-T)}\)，子集卷积即可，那么 \(g=\exp f\)，\(f=\ln g\)。

树

考虑每次加入一个点，设 \(f_i\) 是加入了前 \(i\) 个点的连通块 \(S\) 的方案数，考虑如何计算 \(f_i\)，如果 \(S\) 本身就和 \(i\) 不连通直接转移，否则将 \(i\) 连接的若干连通块合并。如下：

• \(g_S=f_{i-1,S}\times ed(i, S)\)。
• \(f_i=f_{i-1}+\exp(g_S) \times \{i\}\)。

复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

仙人掌

仙人掌可以理解为若干环的合并，一条割边也可以看作一条环。那么需要将这些环合并，找交界点即可，从 \(1\ldots n\) 枚举即可，用 \(\exp\) 合并，复杂度 \(O(2^nn^3)\)。

有向图

DAG 定向

对一个子图的所有边定向，使得是 DAG 的方案数。

考虑每次删掉入度为 \(0\) 的点，但是如果一次没删干净那么就会算重，考虑容斥，如果删除 \(T\)，系数为 \((-1)^{|T|+1}\)。发现可以用复合做，\(H_i=1\)，复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

强连通子图

给定一个有向图，对于每个子图，求有多少种选边(子图内的边)方案使得该子图是强连通图。

设答案为 \(f\)。如果这不是一个强连通图，可以删除入度为 \(0\) 的强连通块，设 \(k=-f\)，\(g=-\exp k\)，那么 \(f_S=2^{ed(S)}-\sum_{T\subsetneq S}g_S2^{cross(T,S-T)+ed(T)}\)，但 \(cross(T,S-T)\) 很难搞成卷积形式，所以应该只能 \(O(3^n)\)。

双连通

问题形式和无向图的类似。

边双

考虑已经求出边双的方案，如何求连通，即“边双-连通 变换”。

设 \(p_i\) 为有割边相连的点的最大值不超过 \(i\)，那么 \(p_0\) 就是边双的方案。那么从 \(p_i\) 推到 \(p_{i+1}\) 只需要加入这些割边即可：

• \(q_{i,S}=[i\not \in S]p_{i,S} cof(i, S\cap \{1,\ldots,i-1\})\)。
• 如果 \(i\not \in S\)，\((p_{i+1})_S=(p_i)_S\)，否则 \((p_{i+1})_S=(p_i \times \exp(q_i))_S\)。

反推就是“连通-边双 变换”，如果知道 \(p_{i+1}\) 那么可以知道 \(q_i\)，直接子集卷积逆即可，细节就是卷的时候 \(p_i,p_{i+1}\) 都应该是不带 \(i\not \in S\) 的 \(S\)。复杂度 \(O(2^nn^3)\)。

点双

和边双类似。

最优化问题

给一个有向/无向图，求出有至少选多少条边使得这是一个边双/点双/强连通块。

和上文没啥关系，注意到这三种都可以耳分解解决，所以直接耳分解就没了，复杂度 \(O(2^nnm)\)。