LGV引理

考虑一个 DAG 中有 \(n\) 个起点和 \(n\) 个终点。

\(A_{i,j}\) 代表从起点 \(i\) 到终点 \(j\) 的路径方案数。计算出矩阵 \(A\) 的行列式。行列式结果为

\[\sum_p (-1)^{t(p)}\prod_{i}A_{i,p_i} \]

LGV 定理是这个行列式为

\[\sum_{S\in PATH}(-1)^{t(p(S))} \]

PATH 代表 \(n\) 个不交（点不交）路径集合的集合。一个有相交路径的方案，例如 \(beg_1 \ldots x \ldots end_1\) 和 \(beg2 \ldots x \ldots end_2\)，交换 \(end_1\) 和 \(end_2\)，它们还是一样相交，但逆序对数变了，刚好正反互相抵消。