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矩阵相关

行列式

对于 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 的行列式为 \(\det(A)=\sum_p sgn(p)\prod_{i=1}^n A_{i,p_i}\)。通过一系列转化后 \(\det(A)\) 可以通过高斯消元求出。

矩阵树定理

无向图

设两个初始矩阵:\(D_{i,j}=[i=j]d_i\),其中 \(d_i\)\(i\) 的度数,\(A_{i,j}\)\(i\)\(j\) 之间边的数量。

基尔霍夫(Kirchhoff)矩阵即为 \(K=D-A\)

\(K^{'}\)\(K\) 删去第 \(p\) 行和第 \(p\) 列的矩阵,\(p\) 任意。

该无向图的生成树个数为 \(det(K^{'})\)

有向图

\(A_{i,j}\) 变为 \(i\) 指向 \(j\) 边的数量。

若是内向树,\(D_{i,i}\) 为出边数量。若是外向树,\(D_{i,i}\) 为入边数量。

此时 \(p\) 为指定的根。

Best 定理

一个有向图的欧拉回路个数为 \(T\times \prod_u (d_u-1)!\)\(T\) 为以任一点为根的内向树个数。

矩阵的秩

一个矩阵 \(A\) 的列秩 \(rank(A)\)\(A\) 的线性独立的纵列的极大数目,行秩同理,方阵中两者相等。高斯消元求出即可。

posted @ 2025-02-11 15:27  larsr  阅读(25)  评论(0)    收藏  举报