矩阵相关
行列式
对于 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 的行列式为 \(\det(A)=\sum_p sgn(p)\prod_{i=1}^n A_{i,p_i}\)。通过一系列转化后 \(\det(A)\) 可以通过高斯消元求出。
矩阵树定理
无向图
设两个初始矩阵:\(D_{i,j}=[i=j]d_i\),其中 \(d_i\) 为 \(i\) 的度数,\(A_{i,j}\) 为 \(i\) 和 \(j\) 之间边的数量。
基尔霍夫(Kirchhoff)矩阵即为 \(K=D-A\)。
设 \(K^{'}\) 为 \(K\) 删去第 \(p\) 行和第 \(p\) 列的矩阵,\(p\) 任意。
该无向图的生成树个数为 \(det(K^{'})\)。
有向图
\(A_{i,j}\) 变为 \(i\) 指向 \(j\) 边的数量。
若是内向树,\(D_{i,i}\) 为出边数量。若是外向树,\(D_{i,i}\) 为入边数量。
此时 \(p\) 为指定的根。
Best 定理
一个有向图的欧拉回路个数为 \(T\times \prod_u (d_u-1)!\),\(T\) 为以任一点为根的内向树个数。
矩阵的秩
一个矩阵 \(A\) 的列秩 \(rank(A)\) 是 \(A\) 的线性独立的纵列的极大数目,行秩同理,方阵中两者相等。高斯消元求出即可。