满足四边形不等式限制数量划分的凸性证明

本文参考 这篇文章，并加入了一些自己的理解。

Part 1

下面我们介绍一下什么是限制数量划分。

函数 \(w(l,r)\) 满足四边形不等式，即对于 \(a\leq b \leq c \leq d\)，满足 \(w_{a,c} + w_{b,d}\leq w_{a,d} + w_{b,c}\)。

你需要把区间 \([1,n]\) 分成 \(k\) 个区间 \([p_1+1,p_2],[p_2+1,p_3],\ldots,[p_k + 1,p_{k+1}]\)，其中 \(p_1 = 0,p_{k+1}=n\)。使得 \(\sum_{1\leq i\leq k} w(p_i + 1,p_{i+1})\) 的值最小。

设 \(f(x)\) 为把区间分成 \(x\) 个区间的费用最小值，\(F(P)\) 为按照序列 \(P\) 的划分的费用。

Part 2

对于数 \(k\)，设 \(P\) 为 \(f(k)\) 最优解的一个序列，设 \(Q\) 为 \(f(k+2)\) 最优解的一个序列。

根据四边形不等式，可知 \(P_i\leq Q_{i + 2}\)（OIwiki 上有类似证明）。那么再根据鸽巢原理可以知道，肯定存在一个 \(i\) 满足 \(P_i \leq Q_{i+1}\leq Q_{i+2}\leq P_{i+1}\)。

设序列 \(S\) 为 \(P_1,P_2,\ldots,P_i,Q_{i+2},\dots,Q_{k+3}\)，序列 \(T\) 为 \(Q_1,Q_2,\ldots,Q_{i+1},P_{i+1}\)。

那么 \(F(P) + F(Q) - F(S) - F(T) = w(p_i+1,p_{i+1}) + w(Q_{i+1} + 1, Q_{i+2}) - w(p_i + 1, Q_{i+2}) - w(Q_{i+1} + 1,p_{i+1})\ge 0\)，如下图：

可以知道 \(S\) 和 \(T\) 的长度都是 \(k+2\)（即把 \([1,n]\) 分为 \(k+1\) 个区间），那么：

\[f(k+2)+f(k)-f(k+1)-f(k+1)\ge 0 \]

\[f(k+2)- f(k+1)\ge f(k+1)-f(k) \]

那么 \(f\) 是个凸性的。