关于麻将进张巡目期望的分析

前提假设

• 麻将牌山是均匀随机的。
• 全场无副露行为。

符号约定

• \(M\)：当前剩余可摸的牌山的张数。
• \(P\)：当前牌山中目标牌的数量。
• \(e(X)\)：期望还需再摸多少巡目（假设一定能摸到）。
• \(E(X)\)：期望还需再摸多少巡目能中止，其中中止定义为【摸到目标牌或没有摸牌巡目】

推导过程

直接地，我们容易想到如下算法：

\[e(X) = \dfrac{P}{M} \cdot e(X) + \dfrac{M-P}{M} \cdot \dfrac{\dbinom{M-P-1}{3}}{\dbinom{M-1}{3}}\cdot \dfrac{P}{M-4}\left( e(X)\ + 1\right)\cdots \]

然后发现这样的方程我们很难求解，考虑更换角度，不妨从生成牌山序列的角度考虑，由于没有副露行为，所以我们的摸牌是固定的，换句话说，假设你是第一个摸牌的，则一定会摸所有编号模 \(4\) 余 \(1\) 的牌。

这样我们就可以将上式转换为下式：

\[e(X)=\sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} i \cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{p=0}^{P - 1} \dbinom{3i}{p} \cdot \dbinom{M-4i-1}{P-1-p}}{\dbinom{M}{P}-\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}} \]

对于上式解释如下：

我们不妨钦定第 \(4i+1\) 个是我们需要的牌，即再摸 \(i\) 巡摸到自己想要的牌，那么剩余 \(P - 1\) 个牌的编号只会有两种可能：

1. 小于 \(4i + 1\) 且模 \(4\) 不余 \(1\)。
2. 大于 \(4i + 1\) 的任何可能的位置。

而对于第一种情况（假设有 \(p\) 张为第一种情况），我们的方案数是 \(\dbinom{3i}{p}\)，对于第二种情况，方案数则是 \(\dbinom{M-4i-1}{P-p-1}\)。

而合法的牌山序列总数则是 \(\dbinom{M}{P}-\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}\)。

首先容易发现一个范德蒙德卷积的结构，我们将其化简得到：

\[\begin{aligned} e(X)&=\sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} i \cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{p=0}^{P - 1} \dbinom{3i}{p} \cdot \dbinom{M-4i-1}{P-1-p}}{\dbinom{M}{P}-\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}}\\ &=\dfrac{\displaystyle\sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} i \cdot \dbinom{M-i-1}{P-1}}{\dbinom{M}{P}-\dbinom{M - \left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}}\\ \end{aligned} \]

我们发现似乎无法直接化简了，现在棘手点在于如何对式子 \(\displaystyle\sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} i \cdot \dbinom{M-i-1}{P-1}\) 下手，原始想法是先把 \(i\) 拆开，但是 WA90 老师提示到可以把 \(i\) 变成 \(-(M-i)+M\) 再吸收（这里真的很感谢他），于是我们：

\[\begin{aligned} &\sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} i \cdot \dbinom{M-i-1}{P-1}\\ =&\sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} [-(M-i) + M] \dbinom{M-i-1}{P-1}\\ =&M \sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0} \dbinom{M-i-1}{P-1} - \sum^{\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1}_{i=0}P \dbinom{M-i}{P}\\ =&M \sum^{M-1}_{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil} \dbinom{i}{P-1} - P \sum^{M}_{i=M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil +1} \dbinom{i}{P}\\ =&M\dbinom MP - M \dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}-P\dbinom{M+1}{P+1}+P\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil+1}{P+1}\\ =&(P+1)\dbinom{M+1}{P+1}-P\dbinom{M+1}{P+1} - \dbinom MP - (P+1)\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil+1}{P+1} + P\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil+1}{P+1}-(\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1)\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}\\ =&\dbinom{M}{P+1}-\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil+1}{P+1} - (\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil - 1)\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}\\ =&\dbinom{M}{P+1}-\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P+1} - \left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P} \end{aligned} \]

整理得到：

\[e(X) = \dfrac{\dbinom{M}{P+1}-\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P+1} - \left\lceil \dfrac{M}{4} \right\rceil\dbinom{M-\left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}}{\dbinom{M}{P}-\dbinom{M - \left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}} \]

容易发现，最终答案为：

\[\begin{aligned} E(X)&=e(X) \cdot \dfrac{\dbinom{M}{P}-\dbinom{M - \left\lceil \frac{M}{4} \right\rceil}{P}}{\dbinom MP} + \left\lceil \dfrac M4 \right\rceil \dfrac{\dbinom{M-\lceil \frac M4 \rceil}{P}}{\dbinom MP}\\ &=\dfrac{\dbinom M{P+1} -\dbinom{M-\left\lceil \frac M4 \right\rceil}{P+1}}{\dbinom MP} \end{aligned} \]

进一步地

我们容易发现，我们的结论可以推到存在副露的情况，因为牌山是均匀随机的，即每一种牌山序列都是等概率的，所以副露等价于从一个牌山序列变成了另一个牌山序列，不影响期望值。

上述话的正确性还有待商榷。