复健笔记

复健计划启动于 \(2025\) 年 \(7\) 月 \(14\) 日。

先从数据结构开始吧~

P5314 [Ynoi2011] ODT

比较有意思的一个题目，感觉评黑有点高了（lxl，你还不赶紧过来卡常！）。

不妨我们先考虑不带修怎么做，较为简单，我们可以在每个节点上维护一个平衡树，将自身节点和父亲节点和儿子节点全部放进去，然后查询的时候查询排名为 \(y\) 的即可。

现在考虑待修该怎么做，我们发现如果在每个节点上维护着上述节点，将无法支持链剖链跳 \(\log n\) 次的特性，故我们考虑改善维护的信息。

进一步地，我们发现我们可以在节点上放弃用平衡树维护所有距离小于等于 \(1\) 的节点，我们考虑发生一次链跳时，一定是发生了一次轻重儿子切换，故我们可以在每个节点上维护所有的轻儿子，然后再查询时将重儿子、自身和父亲节点加入即可。

由于维护方式是单点查询和区间修改，所以不妨做一次差分，然后用树状数组维护修改。

时间复杂度 \(O(m \log^2 n + m \log n)\)，由于用树状数组，常数较小，足以通过该题。

CF1592F2 Alice and Recoloring 2

哇哇哇很有意思的一个题啊。

我们容易发现一个有意思的，就是这个操作二和操作三是来骗你玩的，所花的代价高于两次操作一。

根据这一条，我们发现了可用的操作只有操作一和操作四。

进一步地，我们会发现操作四的一个缺陷，就是当某两次操作四的另一个角点的 \(x\) 或者 \(y\) 一致时，所花费的代价与四次操作一是一致的，即此时用操作四和操作一等价。

故最优时方案一定是让所有操作四的 \(x,y\) 都不一致，进一步地，我们还需要尽可能多的操作四，这里容易想到我们的二分图最大匹配，让横纵坐标分别成为两部点，搞匹配即可。

不过我们发现直接搞矩形取反不好维护，容易想到二维差分，操作一变成反转一个角点，操作四变成反转四个角点。

容易知道，只有操作四除了 \((n,m)\) 外的三个角点均为 \(1\) 的时候，我们用操作四才最优。

故思路总结为先找出所有满足最优进行操作四的点，把该点坐标在二分图上连边，最后在二分图上跑最大匹配，将匹配的点进行操作四，最后统计剩下有多少 \(1\) 即可。

时间复杂度取决于二分图所用算法。

P4180 [BJWC2010] 严格次小生成树

逆天了，为啥这个题没有做过啊？

首先不难意识到，你 kruskal 跑出来的最小生成树，跑完剩下的边加入肯定会成环，不难意识到你加入的这条边一定是环上最大的那条边，故容易意识到环上除当前边以外最大的那条边可以被换掉，此时不改变树的连通性。

故可以把每条没加进去的边当做询问，查询能否以最小的代价做替换即可。

时间复杂度 \(O(m \log n)\)。

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嗨，你以为这么久没更新，难道真的停止复健了？

打了几场 CF 罢了，从 \(1043\) 开始都参加了/se

新题做起来还是很爽啊，不过脑子转的不够快/kk

懒得写成套题解了/shui