题解 P7325

前言

数学符号约定

1. \(a,b,p\)：表示任意自然数。
2. \(F_x\)：表示广义斐波那契数列的第 \(x\) 项。
3. \(f_x\)：表示普通斐波那契数列的第 \(x\) 项.

如非特殊说明，将会按照上述约定书写符号。

题目分析

首先引入一条定理：

普通斐波那契数列在模 \(m\) 意义下纯循环，且循环节为 \(O(m)\)。

证明可以去看 wlzhouzhuan 的博客，碍于篇幅限制不多赘述。

然后我们定义 \(F_0 = a,\, F_1 = b\)，则显然我们有：\(F_p = af_{p-1} + bf_{p}\)，证明平凡，如果想不出来可以手玩一下试试。

此时，我们的目标是对于 \(a,b\) 求出 \(p\) 使其满足下式：

\[af_{p-1} + bf_p \equiv 0 \pmod {m} \]

移项，得：

\[af_{p-1} \equiv -bf_p \pmod m \]

此时，我们不妨令 \(t = -b\)，则我们有：

\[af_{p-1} \equiv tf_p \pmod m \]

观察上式，发现如果我们能将 \(f_{p-1}\) 和 \(t\) 分别移项，然后预处理 \(\dfrac {f_p}{f_{p-1}}\) 问题就十分的简单了，但是因为 \(m\) 不为质数（即两者不一定互质），故我们不能这么做。

然而，俗话说的好，没有条件就让我们创造条件，先考虑对原式化简，设 \(d = \gcd(a,t,m)\)，则原式变为：

\[\frac{a}{d} f_{p-1} \equiv \frac{t}{d} f_p \pmod {\frac{m}{d}} \]

如果我们想让 \(\dfrac td\) 在 \(\dfrac md\) 的情况具有逆元，则需要保证 \(\dfrac td \perp \dfrac md\)，但是此时显然不一定成立，于是我们设 \(d' = \gcd(\dfrac td, \dfrac md)\)，现在考虑同余式左侧应该如何除以 \(d'\)。思考 \(d'\) 此时是 \(\dfrac td\) 和 \(\dfrac md\) 的公共因子，因为 \(d\) 已经是 \(a,t,m\) 的最大公因数了，则此时 \(\dfrac ad,\dfrac td,\dfrac md\) 之间已经不存在公共因子了，若 \(d' \not \perp a\)，则说明 \(\dfrac ad,\dfrac td,\dfrac md\) 之间还存在公共因子 \(d'\)，与条件相悖，故 \(d' \perp a\)。

因为同余式左侧一定是 \(d'\) 的倍数（否则无法构成同余关系），故得证 \(d' \mid f_{p-1}\)，换言之，就是 \(d'\) 一定会整除在 \(f_{p-1}\) 身上。于是式子变为：

\[\begin{aligned} \frac{a}{d} \frac{f_{p-1}}{d'} \equiv \frac{t}{dd'} f_p \pmod {\frac{m}{dd'}}\\ \frac{a}{d} \left( \frac{t}{dd'}\right) ^ {-1} \frac {f_{p-1}}{d'} \equiv f_p \pmod {\frac{m}{dd'}} \end{aligned} \]

好，现在我们再考虑能否将 \(\dfrac {f_{p-1}}{d'}\) 移项过去，要移项则必须保证 \(\dfrac{f_{p-1}}{d'} \perp \dfrac{m}{dd'}\)，因为斐波那契数列具有性质 \(f_{p-1} \perp f_{p}\)，并且我们又要必须保证右侧应当为 \(\gcd(\dfrac{f_{p-1}}{d'},\dfrac{m}{dd'})\) 的倍数，自然此时 \(\gcd(\dfrac{f_{p-1}}{d'},\dfrac{m}{dd'}) = 1\)，故存在逆元，可以进行移项。

于是我们可以预处理三元组 \(\left( d,d',\dfrac{f_p}{\dfrac{f_{p-1}}{d'}} \bmod {\dfrac{m}{dd'}} \right)\)，并用一个 map 来维护它。但是复杂度就直接飙升到令人无法接受的 \(O((\sum_{d \mid m}\sum_{d' \mid d} 1 )\log m)\)。于是我们考虑探究其中的性质。

我们回过头来看原先所写的 \(d' \mid f_{p-1}\)，发现如果分两步枚举 \(d'\) 是非常笨的，因为我们还有 \(d' \mid \dfrac md\)，我们又有 \(\gcd(\dfrac{f_{p-1}}{d'},\dfrac{m}{dd'}) = 1\)，于是显然我们此时的 \(d'\) 只能等于 \(\gcd(f_{p-1},\dfrac md)\)，故只需要枚举 \(d\) 和 \(p\) 就可以得到全部的三元组，此时的时间复杂度是 \(O(\sigma (m) \log m)\) 的，因为渐近意义下 \(\sigma(m)\) 是等价于 \(m \log \log m\) 的（具体证明参见 chenxia25 - P7325，所以枚举部分的复杂度是 \(O(m\log\log m \log m)\) 的，总时间复杂度为 \(O((m\log\log m+n)\log m)\)

注意：

• 若 \(f_{p-1}\) 和 \(f_p\) 等于 \(0\) 的时候我们的同余式就爆炸了，于是我们需要把这个特判掉。

代码实现

下面给出了关键部分的代码实现。

n=read();
m=read();
f[1] = 1;
for(int d = 1;d<m;++d){
	if(m%d==0){
		for(int p=2;p;++p){
			f[p] = (f[p-2] + f[p-1]) % (m/d);
			if(f[p-1] == 0 && f[p] == 1)
				break;
			if(!f[p-1] || !f[p])
				continue;
			int dd = __gcd(f[p-1],m/d);
			int val = 1 * f[p] * inv(f[p-1]/dd,m/dd/d) % (m/dd/d);
			if(!hashtable[make_tuple(d,dd,val)])
				hashtable[make_tuple(d,dd,val)] = p;
		}
	}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	a=read();
	b=read();
	if(a==0){
		printf("0\n");
		continue;
	}
	if(b==0){
		printf("1\n");
		continue;
	}
	b=(m-b)%m;
	int d = __gcd(a,__gcd(b,m));
	int dd = __gcd(b/d, m/d);
	int val = 1ll * a / d * inv(b/d/dd,m/d/dd) % (m/d/dd);
	int data = hashtable[make_tuple(d,dd,val)];
	if(!data)
		printf("-1\n");
	else
		printf("%lld\n",data);
}