高一数学（一）

高一数学（一）

前言：

一、废话：

因为感觉用电脑把笔记转成 Markdown 会很飘娘，而且顺带也想复习一下自己的数学 whk,于是便出了这个笔记，以后有机会还会更新的。

二、数学符号约定：

没啥约定，又不是写题解

正文：

1.1 集合及其表示方法

一、知识梳理：

1. 定义：把能够确定的不同的对象汇集在一起，叫做集合。
   表示方法：大写英文字母。
2. 元素：表示集合中的每一个对象。
   表示方法：小写英文字母。
3. 属于和不属于：
   1. 如果 \(a\) 在集合 \(A\) 中，则记作：
      \[a\in A \]

   2. 如果 \(a\) 不在集合 \(A\) 中，则记作：
      \[a\notin A \]

   3. 举例：若集合 \(A\) 是所有 \(\leq 10\) 的自然数组成的：
      \[\therefore 0\in A\qquad \frac 12 \notin A \]

   4. 元素的特征：
      1. 确定性：集合的元素必须是确定的。
      2. 互异性：集合的元素必须是两两不同。
      3. 无序性：集合的元素可以任意排列。
   5. 集合的分类及相等集合：
      1. 按照集合中的元素个数分类：
         1. 有限集：元素个数有限。
         2. 无限集：元素个数无限。
      2. 空集：不然任何元素的集合，记作 \(\varnothing\)，是有限集。
      3. 相等集合：组成集合的元素完全相同，记作 \(A = B\)。
   6. 常用的数集：
      1. 自然数集：\(\mathbb{N}\)，注意：\(0\in \mathbb{N}\)
      2. 正整数集：\(\mathbb{N_+}\) 或 \(\mathbb{N^*}\)，注意：\(0 \notin \mathbb{N_+}\)
      3. 整数集：\(\mathbb{Z}\)。
      4. 有理数集：\(\mathbb{Q}\)，两个数的商 \(\dfrac pq \in \mathbb{Z} \; (p,q\in \mathbb{Z}\;p,q\ne 0)\)。
      5. 实数集：\(\mathbb{R}\)。

二、典例：

1. 互异性的应用：
   已知 \(A=\{a-2,a^2+4a,10\}\)，若 \(-3\in A\)，求 \(a\)。
   （运用分类讨论的思想）（有分类，必综合）
   解：\(\because -3\in A\)
   \(\therefore a-2 = -3 \quad\text{or}\quad a^2+4a = -3\)
   \(①a-2=3\quad\therefore a=-1\)
   \(\text{此时}\;a^2+4a=-3\)
   \(\therefore A=\{-3,-3,10\}\)
   \(\text{不合题意，舍去}\)。
   \(②a^2+4a = -3\quad\therefore a=-3 \quad or \quad a = -1\text{（舍去）}\)
   \(\therefore a-2 = 5\)
   \(\therefore A = \{-3,-5,10\}\text{，成立}\)
   \(\text{综上：}a=-3\)