背包DP

背包dp

前言 ：由于普通的背包板子太板了，所以不多赘述，直接讲有价值的

1.多重背包的二进制优化

把一个物品的数量二进制拆分，例如有10个价值a的物品，我们把它拆成1+2+4+3个，这样保证可以用这4个物品凑出想要的解 代码很妙

 int k=1,c=物品数量,v=物品价值,cnt,a[];
 while(k<=c){
     a[++cnt]=v*k;
     c-=k;
     k*=2;
 }
 if(c!=0){
     a[++cnt]=c*v;
 }

2.01背包和完全背包的滚动数组

 //01背包
 for(int i=1;i<=n;i++){
     for(int j=m;j>=w[i];j--){
         dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
     }
 }
 //完全背包
 for(int i=1;i<=n;i++){
     for(int j=w[i];j<=m;j++){
         dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
     }
 }

发现在枚举j的时候顺序变了，为什么呢

01背包 dp_{i,j}=max(dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-w[i]}+c[i])

所以滚动时，dp_{j}还没有被当前的i更新，所以dp_{j}表示上一层的dp_j

而完全背包 dp_{i,j}=max(dp_{i-1,j},dp_{i,j-w[i]}+c[i])

dp_j需要已经更新过的dp_j所以正着来

3.一道很有启发的题目

有价值1,2,3,4,5,6,7,8的物品个a_i件，最大能凑成的小于m的数(1\leq m \leq 1e18)

其实没什么思路，讲解后看了题解才搞懂

我们令d=gcd(1,2,3,4,5,6,7,8)=840

 

第一步：我们只用其中一种价值的物品去凑d

若最后的答案为ans ans=k\times d+c_1+c_2+c_3+c_4+c_5+c_6+c_7+c_8

c为凑完d后每种物品剩下的价值

如果c_i要大于d的话，我们可以在c_i提取一个d出来，所以最后其中任意一个的c_i是小于d的

你会发现，c_i的大小决定了前面可以凑出多少个d，所以这就是一个背包问题，c_i的和为背包容量，我们需要合理分配c_i的大小来保证能前面能选取更多的d

应为每个c都小于d，多以8个c会一定小于8\times d，这就是背包容量的最大值 dp_{i,j}表示前i个物品，c_i的和刚好为j时(即把d凑完后剩下的和),能组成多少个d，也就是式子里面的k

最后枚举c的和，然后计算答案

4.特殊数据的01背包

1.m\leq 1e9 \quad n\leq 100 \quad c\leq1000

把状态反过来，dp_{i,j}表示前i个物品获得价值为j时的最小重量

2.m\leq 2e5 \quad n\leq 2e5 \quad w\leq100

发现重量很小，所以每两个重量的差也会很小，所以当m比较大时，我们可以按照性价比排序选择，若当前剩余的m很大了，也就是说无论如何m短时间内都不会被选满，所以对背包影响可以忽略

但是当m很小的时候，我们每个物品就显得很重要了，这时我们用背包dp

5.bitset优化背包

bitset就是一个自定义长度，空间小，速度快的01序列 可以像二进制一样进行左移、右移、与、或、非、异或等操作

例如状态转移方程dp_{i,j}|=dp_{i-1,j-w}

此时我们就可以把dp_i这一整行定义为一个bitset，让他去或上dp_j这一行的bitset左移w位的bitset 左移w位，就相当于这个bitset的每一位都向前挪了t步，就相当于每一位下标减小了t