第 6 章学习小结

一、两个重要概念

1、连通分量：无向图的极大连通子图（该子图是 连通子图，G中再加一个顶点就不连通，再减一条边就不极大）；任何连通图的连通分量只有一个，即其本身；非连通图有多个连通分量（非连通图的每一个连通部分）。

2、最小生成树：在一个连通网的所有生成树中，各边的代价之和最小的那棵生成树

二、图的存储结构：

/*图的邻接矩阵的结构表示（多用于稠密图）*/

#define MaxInt 32767      //表示极大值，即∞

#define MaxVNum 100     //表示图中最多可以包含的顶点数

typedef char Vextype;      //将顶点的数据类型设为字符型

typedef int Arctype;       //将边的权值设为整型

 

typedef struct

{

    Vextype vexs[MaxVNum];             //定点表（用来保存顶点信息的一维数组）

    Arctype arcs[MaxVNum][MaxVNum];   //邻接矩阵

    int vexnum, arenum;                 //记录图的顶点数和边数

} AMGraph;                             //将结构体命名为AMGraph

 

/*图的邻接表的结构表示（多用于稀疏图）*/

#define  MAX_VERTEX_NUM 100//最大顶点个数

#define  VertexType int//顶点数据的类型

#define  InfoType int//图中弧或者边包含的信息的类型

typedef struct ArcNode

{

    int adjvex;//邻接点在数组中的位置下标

    struct ArcNode * nextarc;//指向下一个邻接顶点的指针

    InfoType * info;//和边相关的信息（eg.权值）

}ArcNode;

typedef struct VNode

{

    VertexType data;//顶点的数据域

    ArcNode * firstarc;//指向邻接点的指针

}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//存储各链表头结点的数组，AdjList表示邻接表类型

typedef struct

{

    AdjList vertices;//图中顶点的数组

    int vexnum,arcnum;//记录图中顶点数和边数

}ALGraph;

三、图的遍历

1.深度优先遍历（DFS）：从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有的顶点和v有路径相通的顶点都被访问到。（类似于树的先序遍历）

 2、广度优先遍历（BFS）：首先生成第一层结点，同时检查目标结点是否在所生成的结点中，如果不在，则将所有的第一层结点逐一扩展，得到第二层结点，并检查第二层结点是否包含目标结点，……，对层次为n+1的任一结点进行扩展之前，必须先考虑层次完层次为n的结点的每种可能的状态。因此，对于同一层结点来说，求解问题的价值是相同的，可以按任意顺序来扩展它们。通常采用的原则是先生成的结点先扩展。（类似于树的层次遍历）

四、树的应用

 （一）求最小生成树

1、普里姆算法：归并顶点，与边数无关，适用于稠密图

2、克鲁斯卡尔算法：归并边，适用于稀疏图

 （二）求最短路径

1.迪杰斯特拉算法（Dijkstra）：把图中的顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；第二组是未确定最短路径的顶点集合U。

2.弗洛伊德算法（Floyd）：

1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是，更新它。