P13586 [NWRRC 2023] First Solved, Last Coded

是个美难题！让我对栈结构有了新的理解。

我们对于栈，可以想到深度优先搜索，dfs 树等。。。总之都是说明了栈有着优良的性质，当然关于前缀和等的数学性质就不多说了，毕竟对这道题理解作用不大。

这题看起来很难，先找切入点。注意到数据范围很小，我们可以想到结合栈的优良性质去干一些事情。考虑从第一个入栈的东西的出栈时间入手，或者从最后一个出栈的东西枚举入栈的时间入手，我是从后者考虑的。

对于最后一次出栈的数，如果其是第 \(i\) 个入栈的，则需要满足社么条件？发现对于 \([i+1,n]\) 这些入栈的数需要被 pop 干净，并且自己本身不能被 pop 出去，由于自己前面的数被 pop 只有两种可能，一种是自己没进来的时候被 pop，要么是自己被 pop 后前面被 pop，稍微分析一下就能够发现我们其实进入了两个子问题，因为前面得先全 pop 掉，\(i\) 加入之后的所有数要在只后全 pop 掉，及对于出栈序列 \([1,i-1]\) 和入栈序列 \([1,i-1]\) 需要自己处理组成合法栈序列，对于出栈序列 \([i,n-1]\) 和入栈序列 \([i+1,n]\) 需要满足自己处理组成合法栈序列。

我们发现这样我们就进入了子问题，并且都是连续的区间，如果对栈很熟悉的话，这并不意外，这题也说明了栈能跟一些奇奇怪怪的区间问题扯上关系。

那么我们发现状态不多，在可接受范围，于是直接 dp 就好了，设 \(f(i,j,l)\) 表示入栈序列左端点在 \(i\)，出栈序列左端点在 \(j\)，长度都为 \(l\) 的子问题，转移简单枚举即可，最后利用搜索把方案搜出来就做完了。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^4)\)。