算法第三章上机实践报告

1. 实践报告任选一题进行分析。内容包括：

1.1 问题描述

7-3 最低通行费 (25 分)

一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式:

第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；

后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式:

至少需要的费用。

输入样例:

5
1  4  6  8  10 
2  5  7  15 17 
6  8  9  18 20 
10 11 12 19 21 
20 23 25 29 33

 

结尾无空行

输出样例:

109

 

结尾无空行

 

1.2 算法描述

本题要选择最低费用方式需要依靠比原问题规模更小的子问题最低解即符合“最优子结构”，所以本题采用动态规划算法。因为题目要求在商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。所以只能从向右或向下。定义两个数组dp[N][N],s[N][N],dp数组是存放输入的数字即各个格子的费用 而s数组是记录从s[1][1]到s[i][j]所需的最小通行费。

定义初值 ：

 

1.3 问题求解：

1.1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，

 

1.1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。

维度：二维  填表范围：s[1][1] 到 s[N][N] 

填表顺序：

：

 从第一行到第N行

1.1.3 分析该算法的时间和空间复杂度

时间复杂度：在填表中使用了双重循环，复杂度为O（N^2）

空间复杂度：O（N^2）

1.3 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

对于初始值要考虑周到，要多想一步。切勿仅考虑0或1两种情况，有些问题2的情况也要考虑。

2. 你对动态规划算法的理解和体会

动态规划问题有一定的套路，即第一根据题目定义数组元素的含义，第二找出数组元素之间的关系，写出递归方程式，第三找出初始值。