群的生成元

定义

群的生成元是指一组基本的元素，通过重复应用群运算，由此可以构建出整个群结构。

有限域\(\mathbb{F}_p\)中的每一个元素，都可以在重复进行乘法运算的过程中被用来构成一个子群H。即对于任意元素g，都可以据此构成子群$$H = ={g,g^2,g3,...}$$

有限循环群的求解原理与挑战

在数论与密码学中，模素数p的乘法群\(\mathbb{Z}_p^*\)是一个阶为\(p-1\)的有限循环群。该群是指通过其幂次生成整个群的元素g，形式上，g是生成元当且仅当$$g^{(p-1)/q}\not\equiv1 \bmod{p}$$
对于p-1的每一个素因子q成立。

优化求解策略

1、预处理p-1的素因子分解
若可以预先得到p-1的完整素因子分解$$p-1=q_1^{e_{1}}*q_2{e_{2}}···q_k^{e_{k}}$$
则只需要验证每个候选g满足：$$g^{(p-1)/q_i}\not\equiv1\bmod{p}$$
2、利用已知原根加速搜索
若已知一个原根\(g_0\)，则所有生成元可表示为：$$g=g_0^{k}\bmod{p}$$其中\(gcd(k,p-1)=1\).

def find_primitive_root(p, factors):

    """ 给定素数 p 和 p-1 的素因子列表 factors，返回一个原根 """

    from random import randint

    from math import gcd

  

    phi = p - 1

    while True:

        for g in range(2,p-1):

            if all(pow(g, phi // q, p) != 1 for q in factors):

               return g

  
  

p = 28151

factors = [2,5,563]

print(find_primitive_root(p,factors))