网络流口胡

~~我是口胡大王~~

允许负流量有上下界的源-汇最大流（已实现）

连 \(T\to S\) 上界 \(\inf\)，下界 \(-\inf\) 的边
无源汇可行流 \(\to\) 有源汇最大流，注意到此时已经没有负容量了；找到此时 \(T\to S\) 边的流量
删 \(s,t\) 点、\(T\to S\) 的 \(\inf\) 边，再跑最大流

无负环的最小费用源-汇最大流（已实现）

直接 Simplex

有上下界、负权环和源汇的最小费用可行流、最大流和最小流（已实现）

先连 \(T\to S\) 上界 \(\inf\)，下界 \(-\inf\)，费用 \(0\) 的边
无源汇可行流 \(\to\) 有源汇最大流，判断是否可行，找到此时 \(T\to S\) 边的流量
把这张图复制三遍，跑三遍 Simplex

全非负权的最小权稀疏二分图匹配（已实现）

费用流，秒了！

最小权稠密二分图匹配（已实现）

费用流，秒了！

最大最小欧拉回路（已实现）

二分答案，问题变成：给无向边定向，问能不能构成欧拉回路
有向图为欧拉图的充要条件：每个点出度等于度数的一半
若边 \((u,v)\) 有向，他给 \(u\) 提供 1 的出度，若无向，给 \(u\) 或 \(v\) 提供 1 的出度
边 \(i\) 建点 \(e_i\)，点 \(u\) 建点 \(p_u\)，\(s\to e_i\) 容量为 \(1\)，\(p_i\to t\) 容量为 \(\frac{\text{deg}(i)}2\)，若 \(i\) 边 \((u,v)\) 有向，则 \(e_i\) 向 \(p_u\) 连容量为 \(1\) 的边，否则向 \(p_u,p_v\) 连容量为 \(1\) 的边
跑最大流，看是否满流、再看哪些 \(e_i\to p_j\) 流过了即可定向，最后 DFS 输出方案即可。

= P3511

环形铁路

数学做法

总货物数一定，故每个库最后拥有的货物数一定，故每个库要转出或转入的货物数一定
因为每个库只能和两个库交易，故确定和一个库的交易后即可确定与另一个库的交易
推广发现，若确定其中一组相邻的交易，就能确定其余所有交易，答案就是个一元函数
设 \(1\to n\) 交易了 \(x\)，每个库所需转出量为 \(a_i\)，则 \(2\to 1\) 交易 \(x-a_1\)，\(3\to 2\) 交易 \((x-a_1)-a_2\)，\(4\to 3\) 交易 \(((x-a_1)-a_2)-a_3\)……
设 \(b_i\) 为 \(a_i\) 前缀和，\(Ans=\min_x\{|x-b_0|+|x-b_1|+\ldots+|x-b_{n-1}|\}\)，搞出中位数代入计算即可
\(O(n)\)

费用流做法

设货物数量序列为 \(a\)，\(m=\overline{a}\)，下标从 \(0\) 开始，\(c\) 为容量、\(p\) 为费用
建点 \(s,t\)，每个仓库 \(i\) 建点 \(p_i\)
\(\forall i\in[1..n]\)，\(p_i\to p_{(i-1)\bmod n}\)，\(p_i\to p_{(i+1)\bmod n}\)，\(c=+\infty\)，\(p=1\)
\(\forall i\in[1..n]\land a_i>m\)，\(s\to p_i\)，\(c=a_i-m\)，\(p=0\)
\(\forall i\in[1..n]\land a_i<m\)，\(p_i\to t\)，\(c=m-a_i\)，\(p=0\)
跑最小费用最大流，最小费用即为答案

= P4016

卖猪

建点 \(s,t\)，每个客人 \(i\) 建点 \(q_i\)
\(\forall i\in[1..n],v\in K_i\)：
- 若 \(i\) 是 \(v\) 的第一个客人，\(s\to q_i\)，\(c=p_v\)
- 否则，设上一个客人为 \(j\)，\(q_j\to q_i\)，\(c=+\infty\)
\(\forall i\in[1..n]\)，\(q_i\to t\)，\(c=b_i\)
跑最大流，最大总流量即为答案

= POJ 1149

志愿者招募

设 \(l\) 为流量下界，\(u\) 为流量上界，\(p\) 为费用
第 \(i\) 天建点 \(F_i,G_i\)
\(\forall i\in[1..n]\)，\(F_i\to G_i\)，\(l=A_i\)，\(u=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall i\in[1..n-1]\)，\(G_i\to F_{i+1}\)，\(l=0\)，\(u=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall j\in[1..m]\)，\(G_{T_j}\to F_{S_j}\)，\(l=0\)，\(u=+\infty\)，\(p=C_j\)
跑最小费用可行流，最小费用即为答案

= P3980

餐巾问题

设 \(l\) 为流量下界，\(u\) 为流量上界，\(p\) 为费用
建点 \(s,t\)，第 \(i\) 天建点 \(F_i,G_i\)
\(\forall i\in[1..n]\)：
- \(F_i\to G_i\)，\(l=r_i\)，\(u=+\infty\)，\(p=0\)
- \(s\to F_i\)，\(l=0\)，\(u=+\infty\)，\(p=p_1\)
- \(G_i\to t\)，\(l=0\)，\(u=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall i\in[1..n-1]\)，\(F_i\to F_{i+1}\)，\(l=0\)，\(r=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall i\in[1..n-t_2]\)，\(G_i\to F_{i+t_2}\)，\(l=0\)，\(r=+\infty\)，\(p=p_2\)
\(\forall i\in[1..n-t_3]\)，\(G_i\to F_{i+t_3}\)，\(l=0\)，\(r=+\infty\)，\(p=p_3\)
跑最小费用可行流，最小费用即为答案

= P1251

星际转移问题

设 \(p_i\) 为 \(i\) 船的停靠站周期序列（\(p_i\) 内下标从 0 开始），\(k_i=|p_i|\)，\(c\) 为容量
无解条件：
- \(\forall i\in[1..m],j\in[0..k_i-2]\)，并查集中合并 \(p_{i,j},p_{i,j+1}\) 连通块
- 若 \(0,-1\) 不连通，则无解
从小到大枚举答案 \(x\)，每次在上一张图的残量网络上继续加边继续跑
建点 \(s,t\)，对于每个站点 \(i\in[-1..n]\)、每个时间 \(t\in[0..x]\)，建点 \(q(i,t)\)
\(x=0\) 时：
- \(s\to q(0,0)\)，\(c=k\)
- \(q(-1,0)\to t\)，\(c=+\infty\)
否则，新加边：
- \(\forall j\in[1..m]\)，\(q(p_{j,(x-1)\bmod k_j},x-1)\to q(p_{j,x\bmod k_j},x)\)，\(c=h_j\)
- \(\forall i\in[0..n]\)，\(q(i,x-1)\to q(i,x)\)，\(c=+\infty\)
- \(q(-1,x)\to q(-1,x-1)\)，\(c=+\infty\)
若满流则 \(x\) 满足条件，退出
答案上界：
- 研究一条可行的流，他的流量至少为 \(1\)
- 首先他不会重复经过一个点，因为你总可以将其替换成一直在该点停留
- 其次在一个点停留的时间至多为 \(n+2\)，因为假如存在一个经过该点的船，他最多隔 \(n+2\) 的时间就会访问到该点
- 故答案上界为 \(k\cdot(n+2)^2=11250\)
因为答案 \(\le11250\)，故点数、边数不会爆炸
该方法比直接二分快

= P2754

管道清洁

设 \(l\) 为流量下界，\(r\) 为流量上界，\(p\) 为费用
建边：
- 对于一号边 \((u,v)\)，建边 \(u\to v\)，\(l=1\)，\(r=1\)，\(p=1\)
- 对于二号边 \((u,v)\)，建边 \(u\to v\)，\(l=1\)，\(r=+\infty\)，\(p=1\)
- 对于三号边 \((u,v)\)，建边 \(u\to v\)，\(l=0\)，\(r=1\)，\(p=1\)
- 对于四号边 \((u,v)\)，建边 \(u\to v\)，\(l=0\)，\(r=+\infty\)，\(p=1\)
把 \(1\) 号点拆为 \(s,t\)，\(1\) 的所有出边由 \(s\) 连出、所有入边由 \(t\) 连入
跑源-汇最小费用可行流，可以判有/无解，若有解则最小费用为答案

宝石问题

设机器人起点集合为 \(B\)、终点集合为 \(E\)，\(c\) 为容量，\(p\) 为费用
建点 \(s,t\)，每个格子 \((i,j)\) 拆为两个点 \(p_1(i,j),p_2(i,j)\)
\(\forall i\in[1..r],j\in[1..c]\)：
- \(p_1(i,j)\to p_2(i,j)\)，\(c=1\)，\(p=-v_{i,j}\)
- \(p_1(i,j)\to p_2(i,j)\)，\(c=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall i\in[1..r],j\in[1..c-1]\)，\(p_2(i,j)\to p_1(i,j+1)\)，\(c=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall i\in[1..r-1],j\in[1..c]\)，\(p_2(i,j)\to p_1(i+1,j)\)，\(c=+\infty\)，\(p=0\)
\(\forall(i,j)\in B\)，\(s\to p_1(i,j)\)，\(c=1\)，\(p=0\)
\(\forall(i,j)\in E\)，\(p_2(i,j)\to t\)，\(c=1\)，\(p=0\)
跑源-汇最小费用最大流，最小费用的相反数即为答案

双向路径问题

暴力

设 \(c\) 为容量，\(p\) 为费用
建点 \(S,T\)，原图每个点 \(u\) 拆为 \(p_u,q_u\)
\(\forall u\in[1..n]\)，\(p_u\to q_u\)，\(c=1\)，\(p=1\)
\(S\to q_s\)，\(c=2\)，\(p=0\)
\(p_t\to T\)，\(c=2\)，\(p=0\)
对于原图边 \((u,v)\)，建边 \(q_u\to p_v\)，\(c=+\infty\)，\(p=0\)
跑最大费用最大流，若满流则有解，答案为最大费用
\(O(nm)\)，不能通过

优化 1

用单纯形网络流碾过去
理论复杂度为指数级

优化 2

考虑原始对偶的过程，发现第一次 SPFA 可以替换成 DAG 上的 DP
\(O(m\log n)\)

同余最大流

设 \(f\) 为流量，\(L\) 为流量下界，\(U\) 为流量上界
首先，\(\forall e\in E,r(e)\gets r(e)\bmod Q\)
原题相当于，你要对每条边 \((u,v,L,U,r)\) 定一个 \(k\)，令其流量为 \(r+k\cdot Q\)，需要满足：
- 流量平衡条件
- 流量上下界条件
- 有解情况下，最大化 \(\sum_{(s,v,f)}f\)
首先，若 \(\exists u\in[1..n],\sum_{(v,u,L,U,r)\in E}r\not\equiv\sum_{(u,v,L,U,r)\in E}r\pmod{Q}\)，则无解
令 \(c_u=\dfrac{\sum_{(v,u,L,U,r)\in E}r-\sum_{(u,v,L,U,r)\in E}r}Q\)
考虑建出新图，新图中每条边的流量对应原图中该边的 \(k\)
建点 \(S,T\)，对于原图中每个点 \(u\) 建点 \(d_u\)
对原图每条边 \((u,v,L,U,r)\) 算出满足 \(r+k\cdot Q\in[L..U]\) 的 \(k\) 的取值范围 \([p..q]\)，若不存在 \(k\) 使条件满足，则无解；否则在新图中建边 \(d_u\to d_v\)，\(L=p\)，\(U=q\)
对于每个点 \(u\in[1..n]\)，若 \(c_u>0\)，建边 \(S\to d_u\)，\(L=0\)，\(U=c_u\)；若 \(c_u<0\)，建边 \(d_u\to T\)，\(L=0\)，\(U=-c_u\)
先以 \(S\) 为源点、\(T\) 为汇点做源-汇最大流，求出一组可行流；然后删去 \(S,T\) 点，在可行流的基础上做以 \(s\) 为源点、\(t\) 为汇点的源-汇最大流

最小割模型

最小割问题

最大流 = 最小割

最大权闭合子图

闭合子图：对于有向图，我们选一些点，若 \(u\) 被选，则任意 \(u\) 连出的点 \(v\) 都被选。

最大权闭合子图：每个点有点权，要求闭合子图点权和最大

设原图 \(=(V,E)\)，点 \(u\) 权值为 \(a_u\)，边权为 \(c\)
建点 \(s,t\)，每个点 \(u\) 建点 \(p_u\)
\(\forall u\in V,a_u>0\)，建边 \(s\to p_u\)，\(c=|a_u|\)
\(\forall u\in V,a_u<0\)，建边 \(p_u\to t\)，\(c=|a_u|\)
\(\forall(u,v)\in E\)，建边 \(p_u\to p_v\)，\(c=+\infty\)
答案 \(=\) 正点权和 \(-\) 最小割

正确性：

先把所有正点权给选了
\(S\) 集合表示选的点集，\(T\) 集合表示不选的点集
第 3 类边表示，若 \(u\) 选了，\(v\) 也必须选
第 1 类边表示，若正权点 \(u\) 不被选，代价增加 \(|a_u|\)
第 2 类边表示，若负权点 \(u\) 被选，代价增加 \(|a_u|\)

最小点割集

一张图，给出 \(s,t\)，每个点有正点权，求一个不包含 \(s,t\) 的权值和最小的点集，使得删掉点集中所有点后 \(s\) 无法到达 \(t\)。

把点拆成入点和出点，入点向出点连边，边权为该点点权
原图边从出点连向入点，边权为 \(+\infty\)
最小割即为答案

最小冲突投票

例题：BZOJ 1934

\(n\) 个人，\(m\) 对好友关系，每个人可以给 A 或 B 投票，每个人都有自己的意愿（倾向于 A 还是 B）。

定义一次投票的冲突数为“好友之间投票冲突的总数”加上“和自己本来意愿发生冲突的人数”，问如何投票，冲突数最小。

令 \(S\) 表示投 A 的集合，\(T\) 表示投 B 的集合，\(c\) 为边权
建点 \(s,t\)
\(\forall i\in[1..n]\)：
- 若 \(i\) 想投 A，\(s\to i\)，\(c=1\)
- 若 \(i\) 想投 B，\(i\to t\)，\(c=1\)
对于一对好友关系 \((u,v)\)，连边 \(u\leftrightarrow v\)，\(c=1\)
最小割即为答案

组合收益

每个物品 \(i\) 有收益 \(a_i\)（可以为负），若 \(x_j,y_j\) 同时被选会额外获得收益 \(v_j\)，问最大收益。

先把所有正收益全选了
令 \(S\) 集合表示选的物品，\(T\) 集合表示没选的物品
每个组合 \(j\) 建点 \(p_j\)
若 \(a_i>0\)，\(s\to i\)，\(c=|a_i|\)
若 \(a_i<0\)，\(i\to t\)，\(c=|a_i|\)
\(p_j\to x_j\)、\(p_j\to y_j\)，\(c=+\infty\)
若 \(v_j>0\)，\(s\to p_j\)，\(c=|v_j|\)
若 \(v_j<0\)，\(p_j\to t\)，\(c=|v_j|\)
答案等于正收益之和减去最小割

黑白染色

把所有点分为两个集合，\(i\) 在两个集合分别获得的收益为 \(a_i,b_i\)，如果 \(x_j,y_j\) 所在集合不同会获得一个收益，否则会付出一个代价。

先把所有点黑白染色，分成两类点，需要满足同一类点之间没有限制条件
令 \(S\) 为在第一个集合，\(T\) 为在第二个集合
对于第一类收益：
对于黑色点，正常向 \(s,t\) 连边
对于白色点，反转源汇，即把 \(s\) 看成 \(t\)、把 \(t\) 看成 \(s\)，然后连边
对于第二类收益：
问题变成了若所在集合相同则获得收益、所在集合不同则付出代价，正常连边即可
答案为所有收益之和减去最小割

最小割树

无向图最小割性质：设 \(s,t\) 为任意两点，设 \(s\) 到 \(t\) 的最小割为 \(c\)，且把点分成了集合 \(S\) 和 \(T\)，则 \(\forall u\in S,v\in T\)，\(u\) 到 \(v\) 的最小割 \(\le c\)

最小割树：点集中任取 \(s,t\)，在原图中跑出最小割 \(c\) 把点集分成 \(S,T\)，按 \(S,T\) 划分当前点集，向两边递归，再用一个权值为 \(c\) 的点连接两边的点集，像 Kruskal 重构树一样

\(u,v\) 最小割等于 \(u,v\) 路径上的点权最小值.

证明考虑最小割的最小性和唯一性。

例题

最大密度子图

定义无向图 \(G=(V,E)\) 的密度为 \(\frac{|E|}{|V|}\)，问子图的最大密度及方案。

二分答案 \(g\)，问题变成判定：有没有子图满足 \(\frac{|E|}{|V|}\ge g\)，即求出 \(\max\{|E|-g|V|\}\)
整理条件：
- 选择子图时，如果选了某条边，那么他的两个端点也必须被选
- 选了一条边，产生贡献 \(1\)
- 选了一个点，产生贡献 \(-g\)
得出方法：
- 把原图的点、边一律视为点
- 从边变成的点向其两个端点连一条有向边
- 将边的点权设为 \(1\)，点的点权设为 \(-g\)
- 在新图中求出最大权闭合子图，答案就是我们要求的 \(\max\{|E|-g|V|\}\)
对于输出方案，把选了的点和边输出即可

最小权点覆盖

对于二分图，选一些点去覆盖他们相邻的边，使得所有边被覆盖，问选出的点权和最小是多少。

建点 \(s,t\)
对于所有左部点 \(u\)，\(s\to u\)，权值为 \(u\) 的点权
对于所有右部点 \(v\)，\(v\to t\)，权值为 \(v\) 的点权
对于原图边 \((u,v)\)，\(u\to v\)，权值为 \(+\infty\)
求出最小割即为答案

这里割一条边就相当于选一个点

最大权独立集

等于总权值 \(-\) 最小权点覆盖，之前证过。

习题

植物大战僵尸

最大权闭合子图。注意环。

奶牛的电信

最小点割集。

最小边异或和

首先按位考虑，每个点要么是 1，要么是 0，要么还没定，目标是最小化异或和
令 \(S\) 为 0 集合，\(T\) 为 1 集合
对于原图边 \((u,v)\)：
- 若两个点权已经给定，直接计入答案
- 若给定一个点权，假设为 \(v\)：
- 若 \(a_v=0\)，连边 \(s\to u\)，权值为 \(1\)
- 若 \(a_v=1\)，连边 \(u\to t\)，权值为 \(1\)
- 若两个点权都待定，连边 \(u\leftrightarrow v\)，权值为 \(1\)
最小割即为答案

逃出包围圈