H7.1.4.1. 最短不公共子串

Statement

给两个串 \(A,B\)，其中 \(|A|,|B|\le2000\)，计算：

• \(A\) 的最短子串，他不是 \(B\) 的子串
• \(A\) 的最短子串，他不是 \(B\) 的子序列
• \(A\) 的最短子序列，他不是 \(B\) 的子串
• \(A\) 的最短子序列，他不是 \(B\) 的子序列

Solution

子序列自动机：\(\delta(u,c)=\min\{i|i>u\land s_i=c\}\)，可 \(O(n|\Sigma|)\) 求出

那么这四问都可以转化成：有两个 DAG 记为 \(A,B\)，起始点都为 \(0\)，求最短的路径使 \(A\) 能完整走完，而 \(B\) 不能。

设 \(f(i,j)\) 为 \(A\) 上从 \(i\) 出发，\(B\) 上从 \(j\) 出发的最短路径长度，有

\[ f(i,j)=\min_{c\in\Sigma}\{f(\delta_A(i,c),f(\delta_B(j,c)))+1\} \]

边界：对于 \(i,j\)，若存在 \(c\)，存在转移 \(\delta_A(i,c)\) 且不存在转移 \(\delta_B(j,c)\)，则 \(f(i,j)=0\).

答案：\(f(0,0)\)

时间：\(O(n^2|\Sigma|)\)