动态规划法解最长公共子序列问题

      [问题]一个给定序列的子序列是指在该序列中删除若干元素后所得的序列，但删除过程中不能打乱元素的顺序。例如序列{B,C,A,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}与序列Y={B,D,C,A,B,A}的一个最长公共子序列。给定序列X={x₁,x₂,……,x_m}与序列Y={y₁,y₂,……,y_n}，求其最长公共子序列的长度

      [解析]设序列X={x₁,x₂,……,x_m}与序列Y={y₁,y₂,……,y_n}的最长公共子序列为序列Z={z₁,z₂,……,z_k}，则有如下结论(均可由反证法证明)

       (1)若x_m=y_n，则 z_k=x_m=y_n，且序列Z_k-1是序列X_m-1和序列Y_n-1的最长公共子序列

       (2)若x_m≠y_n，且 z_k≠x_m，则序列Z是序列X_m-1和序列Y的最长公共子序列

       (3)若x_m≠y_n，且 z_k≠y_n，则序列Z是序列X和序列Y_n-1的最长公共子序列

       由此可知，该问题具有最优子结构性质。递推式如下：

       设序列X和序列Y的最长公共子序列的长度为f(m)(n)，则

       (1)若x_m=y_n，则f(m)(n) = f(m-1)(n-1) + 1

       (2)若x_m≠y_n，则f(m)(n) = Max{f(m-1)(n),f(m)(n-1)}