关于整数划分的问题

   （一）递归法                      

       根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

        (2)  当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

        (3)  当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

                     个数为f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

  综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

                           f(n, m)=  1;                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

 代码：

#include<stdio.h>
int div(int n,int m)
{
    if (n < m)
        return div(n,n);
    else if (n==1||m==1)
        return 1;
    else if (n==m)
        return 1 + div(n,m-1);
    else
    {
        return   div(n,m-1) + div(n-m,m);
    }
}
int main()
{
    int n,m,t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",div(n,m));
    }
    return 0;

}

（二）母函数法

  则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

         G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)

                 = g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)

                 = a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ;  （展开式）

        上面的表达式中，每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后，由于x^a * x^b=x^(a+b)，因此 x^i 就代表了i的划分，展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数，即f(n,n)=an （上式中g（x，i）表示数字i的所有可能出现情况）。

        由此我们找到了关于整数划分的母函数G（x）；剩下的问题是，我们需要求出G（x）的展开后的所有系数。

        为此我们首先要做多项式乘法，对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

        g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

多项式相乘，即c=a*b

#define N 130

unsigned long a[N];/*多项式a的系数数组*/

unsigned long b[N];/*多项式b的系数数组*/

unsigned long c[N];/*存储多项式a*b的结果*/



/*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */

/*注意这里我们只需要计算到前N项就够了。*/

void Poly()

{

    int i,j;

    memset(c,0,sizeof(c));

    for(i=0; i<N; i++)

            for(j=0; j<N-i; j++) /*y<N-i： 确保i+j不会越界*/

                  c[i+j] += a[i]*b[j];

}

计算G（x）的前N项系数

/*计算出前N项系数！即g(x,1) g(x,2)... g(x,n)的展开结果*/

void Init()

{

    int i,k;

    memset(a,0,sizeof(a));

    memset(c,0,sizeof(c));

    for(i=0;i<N;i++) a[i]=1; /*第一个多项式：g(x, 1) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 +  */

    for(k=2;k<N;k++)

    {

        memset(b,0,sizeof(b));

        for(i=0;i<N;i+=k) b[i]=1;/*第k个多项式：g(x, k) = x^0 + x^(k) + x^(2k) + x^(3k) +  */

        Poly(); /* 多项式乘法：c= a*b */

        memcpy(a,c,sizeof(c)); /*把相乘的结果从c复制到a中：c=a; */

    }

}

 通过以上的代码，我们就计算出了G（x）的展开后的结果，保存到数组c中。此时有：f(n,n)=c[n];剩下的工作只是把相应的数组元素输出。