LIS——最长上升子序列

处理何种问题：已知一个原序列，求出其最长的一个子序列，且该子序列是单调递增的。（对于其子序列的要求条件是，可以不连续，但是先后顺序不可改变）

 

性能：普通DP为O(n^2)，贪心+二分为O(n*logn)，DP+树状数组O(n*logn)。

 

原理： 贪心+二分解释不出原理，网上的资料个人感觉不是很有说服力; DP类的状态转移方程为: dp[i]=max{dp[j]+1}(1<=j<i,arr[j]<arr[i])

 

实现步骤：在这里写一下后两种算法的。

贪心+二分：对于一个上升的子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越有可能变得更长。开一个数组arr，用于存放原始数列，依次取出每一个数，放入一个是原始是空的有序数组path里面，用lower_bound();求出该数在path里可以刚好替换原位置，且path依旧可以保持升序的位置，例如：

原序列为1，5，8，3，6，7

Path已为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终path为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

该方法我也只能理解到这里了，每个数在path里的位置，个人感觉就是dp[i]，但是这种解法有点绕，严谨的证明逻辑还得自己以后想。

DP+树状数组维护：这个方法我喜欢讲

状态转移方程为: dp[i]=max{dp[j]+1}(1<=j<i,arr[j]<arr[i])

这个方程比较好想出来，但是有一点不好处理，就是在1~i里面找最大的dp[j]，且arr[j]<arr[i]，区间找最大值见过，线段树嘛，但是有限制条件的找最大值我就没见过了。怎么做呢？先将原始序列从小到大排序，并且保存好原数列的角标，然后对于每一个数边查找，边入树，比如第一个数的值是1，位置是100，因为原始dp数组里的值都是0，所以在dp[1~99]里找到的最大值就是0，所以dp[100]=1，然后将dp[100~n]的最大值更新一遍（树状数组更新），然后再进行第二个数，假设是5，位置是120，步骤还是和上面一样，之所以这么做的原因是，因为之前排序之后已经处理掉arr[i]>arr[j]的这个条件了，然后再用边查找，边枚举的方法，就可以很好的处理掉这个问题了。有些算法原理就是自然而然，不用纠结，记住这种处理策略就好。

 

备注：重点把这种处理最大值的方法记住。

 

输入样例解释：

8 //n个数字

9 5 6 9 2 15 2 5

 

输出样例解释：

4 //最长上升子序列的长度

//LIS 有三种方法求解，第一种是常规 DP，时间复杂度是O(n^2);第二种是贪心+二分 时间复杂度是O(nlogn);
//第三种是DP树状数组维护，时间复杂度是O(nlogn)。在这里依次写下来：

/*
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int MaxN=10010;//数据量最大
int arr[MaxN],dp[MaxN];

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)   scanf("%d",&arr[i]);
        for(int i=1;i<=n;++i)   dp[i]=1;//注意：dp初始值是1，因为每个数都可以选取自身

        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<i;++j)
            {
                if(arr[i]>arr[j])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }

        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            ans=max(ans,dp[i]);

        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
*/

/*
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int MaxN=10000000;//大致的极限空间复杂度，同时也大概是极限时间复杂度
int arr[MaxN];
int path[MaxN];//贪心时所用到的辅助数组

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
        memset(path,0,sizeof(path));

        for(int i=1;i<=n;++i)   scanf("%d",&arr[i]);

        int tot=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            int num=lower_bound(path+1,path+tot+1,arr[i])-path;
            path[num]=arr[i];
            tot=max(tot,num);
        }

        printf("%d\n",tot);
    }

    return 0;
}

*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&(-x))
const int MaxN=10000;
int n;

struct node
{
    int val,num;
};
node arr[MaxN];
int dp[MaxN];
bool cmp(node a,node b)
{
    if(a.val<b.val||(a.val==b.val&&a.num<b.num))
        return 1;
    return 0;
}

int modify(int x,int y)
{
    for(; x<=n; x+=lowbit(x))
        dp[x]=max(dp[x],y);
}


int query(int x)
{
    int res=0;
    for(; x; x-=lowbit(x))
        res=max(res,dp[x]);
    return res;
}


int main()
{
    int ans;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        ans=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            scanf("%d",&arr[i].val);
            arr[i].num=i;
            dp[i]=0;
        }
        sort(arr+1,arr+n+1,cmp);
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            int maxx=query(arr[i].num);
            modify(arr[i].num,++maxx);
            ans=max(ans,maxx);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}