密码学

### 数学基础理论

• • 数学基础
  • 群、环、域的概念
  • 密码学基础概念
  • 推荐书籍

数学基础

• 素数与合数定义：

整数p是一个素数, 如果它只能被±p，±1整除。素数的个数是无限的，全体素数的集合记为P。如果整数n不是素数，则它是一个合数。

• 模n同余定义：

若a mod n= b mod n，则称整数a和b模n同余。

• 求最大公因子GCD的Euclidean算法（辗转相除法）：

Step 1: r0 =a and r1 =b；
Step 2: r0 =q1r1+r2； r1 =q2r2+r3； …… ；rn-2 =qn-1rn-1+rn； until rn=0 and rn-1 ≠ 0；
Step 3: rn-1 = gcd(a,b)。

• 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）：

设 n1, n2, …, nk 为两两互素的正整数，gcd(ni,nj)=1(ij)，a1，a2， …，ak为整数，则同余方程组:：
x = a1 mod n1
x = a2 mod n2
……
x = ak mod nk
有模n=n1n2…nk的惟一解x。
特性：在模n(=n1n2…nk)下可将非常大的数x由一组小数(a1,a2,…,ak)表达 x → (a1,a2,…,ak)。
中国古代命题：“韩信点兵”、“孙子定理”、求一术(沈括)“鬼谷算”(周密)、“隔墻算”(周密)、“剪管术”(杨辉)、“秦王暗点兵”、“物不知数”。中国剩余定理：孙子剩余定理、物不知数、数论的重要命题。

• 费马小定理：

设p是素数，由于对任意的a(0<a<p)，有gcd(a,p)=1，则 a p-1 = 1 mod p。

群、环、域的概念

群、环、域的概念，这是离散数学当中的概念：

• 有限域：顾名思义，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方
• 幺元：如果对于一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何数本身，则称这个数是这个集合对于运算+的幺元。以加法为例，0就是在整数这个集合中，关于加法的幺元。
• 零元：和幺元类似，不同处在于是有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是这个数本身，则这个数是这个集合对于这个二元运算的零元。以乘法为例，0就是零元。
• 逆元：有一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），如果a+a’=这个运算的幺元，那么，a与a’互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。
• 群：群表示一种关系，定义一个集合s和一个操作+，注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算，如果这个集合中的元素，关于这个运算，满足结合律，每一个元素有逆元，整个集合有关于这个运算的幺元，则称，这个关系s,+是一个群。以加法为例，加法在整数这个集合上是一个群。
• 环:如果有两个二元运算+,(注意+,并不是指一般意义的加法,乘法，它可以指代任何二元运算)，在一个集合上，一个二元运算满足可结合、可交换、有幺元，元素都有逆元，另一个二元运算满足可结合，则这个关系s,+，*是一个环。
• 整环：在环的定义中，只需满足了可结合的那个运算（不一定是真正意义的惩罚），如果还满足了可交换、有幺元，对于ab=0一定能推出a=0或b=0，则这个环是整环。
• 域：如果一个整环，集合中有至少两个元素，且都有逆元，则是域。
• 伽罗华域：首先，这是一个有限域，其次，这个有限域是2的若干次方。密码学里常用的是2^8

再看有限域，以模5为例，0-4的计算结果也要模5，对于普通加法和乘法，可以证明（我其实不会证），这个关系<0~4,+,*>是一个域，且元素个数有限，所以是有限域。

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有限域：顾名思义，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。

密码学基础概念

• 一个密码系统是整个安全系统的一部分，由五部分组成（M，C，K，E，D）：

1、明文空间M：全体明文的集合，明文（Plaintext）：伪装前的原始数据。

2、密文空间C：全体密文的集合，密文（Ciphertext）：伪装后的数据。

3、密钥空间K：全体密钥的集合，K = < Ke，Kd >，密钥（Key）：加密和解密分别在加密密钥和解密密钥的控制下进行。

4、加密算法集合E，加密变换，ek：M→C，加密（Encryption）：伪装的过程。

5、解密算法集合D，解密变换，dk：C→M，解密（Decryption）：去掉密文的伪装恢复出明文的过程。

• 加密算法需满足两条准则之一，满足两个准则的加密算法称为计算上安全。

1、破译密文的代价超过被加密信息的价值。

2、破译密文所花的时间超过信息的有用期。

推荐书籍

密码学是一个高度跨学科的领域，包含纯数学、计算机科学以及电子工程等多方面的知识。个人认为数学基础是最重要的，也是最不好修炼的一门内功。

密码入门：

《高等数学》---------->工程学高数是必修课
《线性代数》--------->线性代数的研究对象是方程组和矩阵，对密码学来说，可以进一步了解《矩阵论》的相关知识。
《概率论》----------->需要把后续课程，《信息论与编码》的知识也掌握。
《抽象代数》（又称近世代数）----------->个人认为这是这些数学基础课里面，最重要的一门课，掌握好其中的群、环、域、模的知识，对学习目前热门的公钥加密，数字签名，认证等知识大有裨益。当然，这确实是一门神课，天才造出来的东西，真不是俺能彻底搞懂的。
《数论》------->基础中的基础，必修课。

密码进阶

《现代密码学》第4版------->杨波老师编写的，一本很薄的讲解基础密码学的书籍 《Introduction to Modern
Cryptography》 2ed -------> by Jonathan Katz and Yehuda Lindell ，口碑之作，入门有一定难度，国防工业出版社翻译出版了第一版：《现代密码学:原理与协议》。
《应用密码学 :协议算法与c源程序》------->介绍全面，值得阅读一遍，缺点就是书籍出版的有些年代了(1996年第二版)。
《密码编码学与网络安全——原理与实践》第七版 by William Stalling------->很多著名大学都采用它做教材，内容比上面那本书新（2017年第七版）。
《密码学原理与实践》第三版 Douglas R.Stinson著 冯登国 译------->值得精读的一本书
西电胡予濮老师的《现代密码学》课件-------->胡老师本身就是学术大牛，对密码学科的认识很全面，课程讲解仔细，深入浅出，从上个世纪讲到目前的研究热点格密码，能很好的开启视野。
西电胡予濮老师的《流密码》课件--------->基本涉及了流密码的方方面面，课件内容比较细致。

高阶密码

《安全协议理论》，这个课程网上资料不多，我这里有一份电子文档，内容比较“高深”，有需要私信。
《计算复杂性理论》，神一样的课程，从来没听懂过。
《Foundations of Cryptography》by Oded Goldreich，高级密码学理论研究的敲门砖，理论性很强！！！
Bristol大学的密码安全工作组为密码学和信息安全相关的博士准备了52个基本知识点，详情见52个密码学基本知识点，可以简单看一下即可。

最后感叹一下，密码学是一个烧脑的课程。这门学课发展到至今，研究的重点仍然是加密和解密，但研究内容其实远远不止这些了。为了保证安全性，密码算法往往结构复杂、协议繁复，令人望而却步，但是基于的数学原理却又是如此的优美。加密和破解像一对欢喜冤家，携手推进密码学向前发展。

视频推荐： 信息安全数学基础：http://mooc.study.163.com/course/HIT-1000002013#/info
近视代数：http://mooc.study.163.com/course/HIT-1000003009#/info
近世代数_104_南京大学(孙智伟)：https://www.bilibili.com/video/av9351622/ Coursera
密码学公开课：Stanford University的Cryptography I和Cryptography II

几个数学定义
首先要讲的，是关于群、环、域的概念，这是离散数学当中的概念，比较难懂，而其实密码学中对这些概念并没有多少涉及，都是为了引出“有限域”这个概念，所以，我们先说有限域，在说“群、环、域”，如果不想理解“群、环、域”的概念，亦可。

有限域：顾名思义，即范围是有限个的“域”（域的概念稍后解释），它有一个特点，有限域的大小是一个素数的若干次方。举例来说，比如10以内的非负整数，就是一个有限域。一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。
幺元：如果对于一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何数本身，则称这个数是这个集合对于运算+的幺元。以加法为例，0就是在整数这个集合中，关于加法的幺元。
零元：和幺元类似，不同处在于 是 有一个数，对于其他任何数，通过这个二元运算之后，结果都是这个数本身，则这个数是这个集合对于这个二元运算的零元。以乘法为例，0就是零元。
逆元：有一个二元运算+（注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），如果a+a’=这个运算的幺元，那么，a与a’互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。
群：群表示一种关系，定义一个集合s和一个操作+，注意+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算，如果这个集合中的元素，关于这个运算，满足结合律，每一个元素有逆元，整个集合有关于这个运算的幺元，则称，这个关系s,+是一个群。以加法为例，加法在整数这个集合上是一个群。
环:如果有两个二元运算+,(注意+,并不是指一般意义的加法,乘法，它可以指代任何二元运算)，在一个集合上，一个二元运算满足可结合、可交换、有幺元，元素都有逆元，另一个二元运算满足可结合，则这个关系s,+，是一个环
整环：在环的定义中，只需满足了可结合的那个运算（不一定是真正意义的惩罚），如果还满足了可交换、有幺元，对于ab=0一定能推出a=0或b=0，则这个环是整环。
域：如果一个整环，集合中有至少两个元素，且都有逆元，则是域
伽罗华域：首先，这是一个有限域，其次，这个有限域是2的若干次方。密码学里常用的是2^8
再看有限域，以模5为例，0_{4的计算结果也要模5，对于普通加法和乘法，可以证明（我其实不会证），这个关系<0}4,+,>是一个域，且元素个数有限，所以是有限域。

几个数学定理
下面要介绍的数学定理，都很重要，不过也很简单。

欧几里德算法以及扩展欧几里德算法 ：
就是以前学过的辗转相除法，简而言之，a和b（a>b）的最大公约数，就是a模b的结果，和b求得的最大公约数（即gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)），这个过程一直递归下去，直到a或b等于0，则非零的另一个数就是最大公约数。
而扩展欧几里德算法，则是说如果，对a，b以及二者的最大公约数，有ax+by=gcd(a,b)，这里x，y可能有若干对。扩展欧几里德算法常用来求解多项式的逆元，这个我们之后会提到。

欧拉定理
设一个函数f（欧拉函数），f(n)的结果为比n小的，与n互质的数的个数，则对任意一个整数a，若gcd(a,n)=1，有a^f(n) mod n=1.
证明：

设集合X={x1,x2,.......,xf(n)},为与n互质，比n小的数的集合，共f(n)个
而X'={ax1 mod n,ax2 mod n,........, axf(n) mod n} 共f(n)个
因为gcd(a,n)==1,
所以ax 与n互质，
又因为X'元素都比n小
所以X=X'
所以集合X中元素的乘积模n 结果等于 X'中元素的乘积模n
提取出a的f(n)次方，两边消去X中元素的乘积
得出a^f(n) mod n=1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
欧拉定理有一个很有用的用处是求逆元，aa^(f(n)-1) mod n=1，可以改写为ab mod n=1,所以a在模n的有限域的乘法逆元b就等于 a^(f(n)-1) mod n

费马小定理
对于一个素数p，有a^(p-1) mod p=1
费马小定理是欧拉定理的一个特例，证明不再重复

中国剩余定理
有方程组:
求X的值
解法:

其中，M为若干个mi的乘积，ti为M/mi在有限域mi上的乘法逆元
所以，这个问题就分解成了求若干个乘法逆元、求积、求和的问题，而最难的求乘法逆元的方法，就是上面提到的欧拉定理

单变量线性同余
有ax=b mod n，求x
解：

求出gcd(a,n)=d,若d可被b整除，则有d个解，否则无解
另a'=a/d,b'=b/d,n'=n/d
x'=(a')^-1 * b' mod n'(这里(a')^-1 表示a' 在模n'的有限域内的乘法逆元)
x0=x',xt=x0+n/d *t (mod n) t取值从0到d-1

一、整除
定义：
a、b是两个整数，b≠0 ，如果存在一个整数m使等式a=m*b成立，则称b整除a，记为b|a,a是被除数，b是除数。

性质：
·若b|a,c|b,则c|a；
·若b|g,b|h,则对任意整数m，n有b|(mg+nh)

二、素数
定义：
一个大于q且只能被1和它本身整除的整数，称为素数（质数）否则称为合数。

性质：
·若p是素数，p|ab,则p|a或p|b。
·若p是素数，a是任意整数，则有p|a(整除)或gcd(p,a)=1(互素），即素数与任意数之间可能是整除或互素的关系。

三、最大公约数
定义：
最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

性质：
欧几里得定理
设a，b，c，q是任意不全为0的整数，且
a=qb+c,其中q是整数，则有:
◆gcd(a, b)= gcd(b, c)
◆或写成gcd (a, b)=gcd (b, a mod b)。
即被除数和除数的最大公因子与除数和余数的最大公因子相同。例如:
◆gcd(18, 12)= gcd(12, 6) = gcd(6, 0)=6
◆gcd(11, 10)= gcd(10, 1)= gcd(1, 0)=1

四、模运算与同余
定义：
模运算：设n是正整数，a是整数， 如果用n除a，得商为q，余数为r,即a =qn+r, 0Sr<n， 则余数r可以用“a mod n”表示，即r = a mod n。
同余：如果a mod n = b mod n,则称两整数a和b模n同余，记为a ≡ b mod n。

性质：
a ≡ b(mod m) => m|(a-b)
a ≡ b(mod m),b ≡ c(mod m),则a ≡ c(mod m)

五、欧拉函数
定义：
n是一个正整数，小于n且与n互素的正整数的个数称为n的欧拉函数，记为φ(n)。如小于6且与6互素的数只有1和5，因此φ(6)=2。

性质：
若n是素数，则φ(n)=n-1；
若n=pq，p、q是素数且p≠q，则φ(n)=(p-1)(q-1)；
若gcd(m,n)=1，则φ(m)φ(n)=φ(mn)
若n=p₁a₁p₂a₂…pa，其中p₁，p₂，…，p为素数，a₁，a₂，…，a为正整数，则有:φ(n) = n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p)

欧拉定理：
若a和n都是正整数，且gcd (a, n)=1,则有aφ(n) mod n=1，即aφ(n)≡1(mod n)

欧拉定理的应用：求解 3102 mod 11
解：因为gcd(3,11)=1，则有310mod 11=1
所以 310*10 mod 11=110=1，3100+2 mod 11=32 mod 11=9
推论：若a与n互素，则a与aφ(n)-1互为乘法逆元。

六、费马小定理
定义：
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a(p-1)≡1(mod p)。

七、扩展欧几里得定理
定义：
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a，b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd(a，b) = ax+by。

·当b=0时，gcd(a,b)=a，此时x=1，y=0；
·当ab!=0时，设ax₁+by₁=gcd(a,b)，欧几里得原理有gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
则有，gcd(b,a%b)=bx₂+(a%b)y₂
即bx₂+(a%b)y₂=ax₁+by₁
ax₁+by₁=bx₂+(a-[a/b]*b)y₂=x₂b+y₂a-[a/b]y₂b=y₂a+(x₂-[a/b]y₂)b
可以得到：x₁=y₂，y₁=x₂-[a/b]y₂
将上面思想以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

八、乘法逆元
定义：
如果满足下列等式，则称x是a模p的乘法逆元：ax≡1 (mod p)且gcd(a,p)=1（a与p互质)，通常记为：x = a-1 mod p。一个数可能存在多个乘法逆元，也可能没有乘法逆元。

乘法逆元的求法：
费马小定理
当p为质数时，由费马小定理得a(p-1)≡1(mod p)，为了求ax≡1 (mod p)中a模p的乘法逆元x，因为a与p互质，a*ap-2≡1 (mod p)，则x=ap-2
扩展欧几里得
ax≡1 (mod p)可以写成ax+py=1的形式，则可以用扩展欧几里得算法解出二元一次方程解出x。

九、中国剩余定理
一般来讲，p₁，…，p为素数
k ≡ a₁(mod p₁)
k ≡ a₂(mod p₂)
…
k ≡ a(mod p)
有解
﹛x₁ ≡ 1( p₁)，x₁ ≡ 0( p₂)，…，x₁ ≡ 0( p) ﹜
﹛x₂ ≡ 0( p₁)，x₂ ≡ 1( p₂)，…，x₂ ≡ 0( p) ﹜
…
﹛x ≡ 0( p₁)，x ≡ 1( p₂)，…，x ≡ 1( p) ﹜

k = a₁x₁ + a₂x₂ + … + ax (mod p₁p₂…p)

例如：
k ≡ a(mod 3)
k ≡ b(mod 4)
k ≡ c(mod 5)
→k = ax + by + cz (mod 105)
﹛x ≡ 1(3)，x ≡ 0(5)，x ≡ 0(7) ﹜ x = 70
﹛y ≡ 0(3)，y ≡ 1(5)，y ≡ 0(7) ﹜ y = 21
﹛z ≡ 0(3)，z ≡ 0(5)，z ≡ 1(7) ﹜ z = 15
→k = 70a + 21b + 15c (mod 105)

十、威尔逊定理
(p-1)! ≡ -1(mod p)，(p-2)! mod p =1 ，p为质数