BSGS

BSGS

• 设 \(0\leq A,B\leq \sqrt p\)

\[a^{A\sqrt P -B}\equiv b\pmod P\\ a^{A\sqrt P}\equiv b\times a^{{B}} \pmod P \]

• 那么预处理出 \(b\times a^B\) ，枚举 \(A\) 看是否有匹配的，复杂度为 \(O(\sqrt P)\) 如果用 unordered_map
• 但是前提条件是 \(P\) 和 \(a\) 互质，不然不保证有逆元

EXBSGS

• 假设当前不互质，那么

• 设 \(d=\gcd(a,p)\) ，将 \(a,b,p\) 都除以 \(d\)

• 也就是变成 \(\frac{a}{d}*a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}\pmod {\frac{P}d{}}\)

• 然后再判断 \(a\) 是否和 \(\frac{P}{d}\) 互质，一次类推下去，直到最后两者互质，那么就有逆元了，那么就可以开始 BSGS 了

• 最后应该长 \(\frac{a}{D}*a^{x-d}\equiv \frac{b}{D} \pmod{\frac{P}{D}}\)

• 这个就好求了

另一类高次剩余问题

• 对于一个质数的原根，在模意义下，对于 \(0\leq x<P\) ，一定存在 \(0\leq c<P\) ，满足 \(g^c=x\)

• 对于这一类 \(x^a\equiv b \pmod P\) , \(P\) 是质数

• 我们可以找到一个 \(P\) 的原根，令 \(x=g^c\) ，一定可以找到这个 \(g\) 和 \(c\)

• 那么 \(g^{xa}\equiv b \pmod P\) ，这样就转换成 BSGS 了