原根

定义

• 当 \(\gcd(a,p)=1\) ，最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod p\) ，称为 \(a\) 模 \(p\) 的阶 ，\(n=\xi_p(a)\)

• 对于 \(g\) ，如果满足 \(\gcd(g,p)=1,\xi_p(g)=\varphi(p)\) ，那么 \(g\) 为 \(p\) 的一个原根

性质有关 NTT

设 \(g\) 为质数 \(p\) 的一个原根

设 \(g_n=g^{\frac{p-1}{n}}\) ，那么尝试证明原根和单位根之间相似的性质

1. \(g_n^n\equiv 1 \pmod p\)

2. \(g_{an}^{ak}\equiv g_n^k \pmod p\)

3. \((g_{n}^{\frac{n}{2}+k})^2\equiv g_{n}^{n+2k}\equiv g_n^{2k} \pmod p\)

• 有了上述的性质，我们完全就可以将单位根换成原根

原根的充要条件：

\[g^{\frac{p-1}{p_i}}\equiv 1 \pmod p \]

• \(p_i\) 为 \(p-1\) 的质因子，上述式子 恒不成立

\[g^{p-1}\equiv 1 \pmod p \]

• 上述式子 成立

• 一般的原根都比较小，可以枚举的找一下

• 对于 998244353 的一个原根是 3