筛法

筛法求约数和

• 设 \(f(i)\) 为 \(i\) 的约数和， \(g(i)\) 为 \(i\) 的最小的质因子的 \(p^0+p^1+p^2+....+p^k\)

• 线性筛的时候筛到自己最小的质数，如果自己已经是这个质数的倍数，那么

\[g(i\times p)=g(i)\times p+1\\ f(i\times p)=f(i)/g(i)*g(i\times p) \]

• 否则 \(f(i\times p)=f(i)\times f(p),g(i\times p)=1+p\)

一般积性函数线性筛

• 可以参照上面的做法，去构造一个 \(g(i)\) 表示对于 \(i\) 的最小质因子的全部幂次 \(p^k\) 的有关 \(f\) 的函数

• 那么如果被最小的质数筛到，并且这个质数幂次唯一，那么根据积性函数就可以直接乘了，对于 \(g\) 就对应的赋值

• 否则就需要用到 \(g\) 函数，就像上面的情况一一样