排列组合

原文章 OI-wiki

多重集

• 对于一个集合 \(S=\{n_1\times a_1,n_2\times a_2,...,n_k\times a_k\}\) ，意思就是由 \(n_i\) 个 \(a_i\) 组成

多重集组合数1

• 求选 \(r\) 个方案数，满足 \(n_i\leq r\)

• 答案显然就是 \(\binom{r+k-1}{k-1}\)

多重集组合数2

• 求选 \(r\) 个方案数，不一定满足 \(n_i\leq r\)

• 这个没办法直接求，那么就需要容斥

• 那么我们现在要求 不符合条件的数，这个可以通过容斥原理求

不相邻的排列

• 在 \(n\) 个数中选 \(k\) 个不相邻的数

• 显然答案就是 \(\binom{n-k+1}{k}\)

错位排列

• 考虑两种情况

  • 前 \(n-1\) 全部装错
  • 前 \(n-1\) 有一个没有装错

• 其实也可以看成是第 \(n\) 个数和自己对应的数如果换回来后，前 \(n-1\) 个数要么仍然都是错的，要么有 1 个是对的

• 那么 \(f(n)=(n-1)f(n-1)+f(n-2)\)

圆排列

• \(Q_n=\frac{A_n}{n}\)

组合数性质|二项式推论

\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m} \]

\[\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} \]

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]

\[\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}=2^n \]

\[\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0] \]

\[\sum_{i=0}^m \binom{n}{i} \binom{m}{m-i}=\binom{m+n}{m} \]

\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n} \]

\[\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}=n2^{n-1} \]

\[\sum_{i=0}^n i^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2} \]

\[\sum_{l=0}^n\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1} \]

\[\binom{n}{r}\binom{r}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k} \]

\[\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1} \]

\(F\) 是斐波那契数列