欧拉函数

定义

• \(\varphi(n)\)

• 表示小于等于 \(n\) 的和 \(n\) 互质的数的个数

• 比如 \(\varphi(1)=1\)

• 当\(n\) 为质数时 \(\varphi(n)=n-1\)

• \(\varphi(n)=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}),n=p_1^{c_1}...p_s^{c_s}\) ，这可以用性质 1 和 3 来证

欧拉函数的一些性质

• 欧拉函数是积性函数，特殊的 \(\varphi(2n)=\varphi(n)\)

• \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

• 若 \(n=p^k\) ，\(p\) 为质数，那么 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)

欧拉定理

• 若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv1 \pmod m\)

扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\space mod \space \varphi(p)} &\gcd(a,p)=1\\ a^b & \gcd(a,p)\ne1,b<\varphi(p)\\ a^{b\space mod\space \varphi(p)+\varphi(p)} &\gcd(a,p)\ne1,b\geq \varphi(p) \end{cases} \space \pmod p \]

常用的反演形式

• \(\gcd(x,y)=\sum_{i|x}\sum_{i|y}\varphi(i)\)