拉格朗日插值

基础形式

• 众所周知，由 \(n+1\) 个点可以确定最高为 \(n\) 次多项式

• 给定 \(n\) 个点，求这 \(n\) 个点所确定的多项式在某个点的取值，\(f(k)\)

\[f(k)=\sum_{i=0}^n y_i\prod_{i\neq j} \frac{k-x_j}{x_i-x_j} \]

注意当插值连续的时候，可以做到 \(O(n)\)

重心拉格朗日插值

• 设 \(g=\prod _{i=0}^n (k-x_i)\)

• 那么 \(f(k)=g\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{(k-x_i)}\prod_{i\neq j}\frac{1}{(x_i-x_j)}\)

• 设 $t_i=\prod_{i\neq j}(x_i-x_j) $

• 那么 \(f(k)=g\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{(k-x_i)t_i}\)

• 那么每次插一个点就算 \(t\) 就行了

• 这个有什么用呢，我也不知道

P5667 拉格朗日插值2

• 提示一下这个不是什么 \(O(n)\) 做法，其实是一个简单的卷积
• 具体的可以看题解区