2025.12.21小测

P8359题
可以观察特殊性质，不难发现在特殊性质下每断一条边会产生一个新的连通块。
于是能想到维护连通块，具体为：倒序处理询问，先维护出操作完后联通情况。倒序考虑两种情况：
\((i)GC\)更新维护的\(p\)表示下一个GC的时间戳。
\((ii)\)将这次操作删掉的边加回去，如果联通到了\(1\)，则\(ans\leftarrow ans+p\times siz\)，我们维护一个连通块大小即可。
注意:如果图开始就不连通，在统计答案时需要额外加上\(siz\times p\)，\(siz\)为不与\(1\)联通的联通快的大小，\(p\)为第一个\(GC\)的时间戳。
时间复杂度\(O(n)\)

---

P9166题
定义合法线段为：与\(x\)相交或与合法线段相交的线段。
显然，合法端点只可能在合法线段上。
在\(x\)左边的合法线段上的左端点合法，在\(x\)右边的合法线段上的右端点合法。
考虑差分维护出\(x\)左右两边的合法线段终止处。
在维护每个点为性质（为左端点或右端点）
时间复杂度\(O(n)\)

---

P10060题
考虑研究题目给到的\(f\)，我们可以得到一个性质：
拥有相同\(f\)的节点在树上一个形成一个连通块。
其中连通块指拥有相同\(f\)的节点连起来形成的子树，下文将每个节点对应的\(f\)称作节点的“颜色”。
证明：假设在一棵树中，除节点\(i\)外所有节点的颜色都相同（不妨设为\(1\)）\(i\)的颜色为\(2\)，显然如果这棵树不符合性质，\(i\)会拥有父节点\(fa\)与子节点\(son\)，且设\(i\)的颜色为\(j\)，其他结点的颜色为\(k\)。
感性理解一下，如果\(i\rightarrow j 优于 i\rightarrow k\)，且任意情况下\(fa\rightarrow k\)与\(son\rightarrow k\)至少有一条路径会经过\(i\)，则因为任意情况下\(fa\rightarrow i\)与\(son\rightarrow i\)一定，又因为\(i\rightarrow j\)优于\(i\rightarrow k\)，所以任意情况下在\(fa,son\)中至少有一个点的颜色是\(2\)，与命题矛盾。
我们不妨将整棵树按颜色缩点，考虑什么方案会使题目给到的\(f\)不符合实际。
即为：有关键点\(k\)，令\(i\rightarrow k\)优于\(i\rightarrow f_{i}\)。
考虑\(i\)出现的位置，得到性质2:当有不合法情况发生时，不合法节点至少包含一个边界节点（两个颜色块的交界）
证明：感性理解，当有节点不合法时，可以视作它的颜色改变了，根据性质1，此时必然存在相同颜色形成一个连通块。
所以如果有节点不不合法，那么不合法的点集中必然包含边界节点。
逆推，如果没有边界节点不合法，则这个方案是合法的。
考虑树形dp，设\(f_{col,i}\)表示在第\(x\)中颜色的连通块（子树）中，取点\(i\)作为关键点。
我们可以先将原树按颜色缩点，并同时预处理出边界节点与每个连通块点集，如果有不合法的连通块，那么这组数据就是无解的。再预处理出点对之间的距离。
下面的叙述全部基于缩点后的树。
在dp时我们可以枚举当前颜色（子树）的关键点，相邻的颜色（子树），相邻颜色（子树）的关键点，在枚举过程中判断两个交界点是否合法即可。
根据乘法原理，当前颜色（子树）的方案树就是所有相邻颜色（子树）方案数的乘积。
最后\(Ans=\sum dp_{f_{1},v}\)，其中\(v\)是颜色为\(f_{1}\)的连通块中的点。
时间复杂度：\(dfs+\)枚举当前连通块关键点\(=\)遍历整棵原树，枚举相邻颜色\(+\)关键点\(=\)遍历整棵原树。
共\(O(n^{2}\))

---

P1129题
前言：破网络流？？！！！
注意到一个性质，如果我们将初始有黑点的行数与黑点所在列数作为节点连边，那么所有操作可直接转化为移动右侧点（列数代表的点集），使得经过若干次移动后，每个左侧点都有一条边连向右侧点，因为右侧点的移动是任意的，所以我们只需要跑一遍二分图最大匹配，看匹配数是否为\(n\)即可