Clustering-based genetic offspring generation for solving multi-objective optimization problems with intricate Pareto sets

普通的SBX

存在的问题：

我们以ZDT1问题为例子

其真实的PS(Pareto-optimal set)𝑥1 ∈ [0, 1] and 𝑥𝑖 = 0 for 𝑖 = 2, ... , 𝐷。这表明PS和决策变量是平行的。

如上图所示PS和x1平行。所以这种情况下SBX有很好的效果。
但是实际上真实的PS并不一定是平行于决策变量的。
例如ZDT1函数的变体RM1

在Rm1中，当i= 2，..，D时，PS为x1∈[ 0、1 ]，xi = x1。

如上图所示，PS不在是和决策变量平行状态，而是旋转。这个时候再使用
SBX就会得到的子代显然很差。

注以fig1,2中的p1(0.25,0.25),p2(0.75,0.75)

改进的RSBX

基于旋转的SBX ( RSBX )的新方法来处理旋转的MOPs。其核心原理是利用一个旋转矩阵V来操纵搜索空间内的个体。旋转矩阵的构建依赖于当前种群导出的协方差矩阵。

1.繁殖过程开始于计算当前种群的平均向量m，如( 4 )所示。

2.随后，协方差矩阵C由( 5 )式计算，其中xi表示第i个个体的决策变量的向量，xi，k和mk分别表示xi和m的第k个元素。

3.然后利用特征分解通过式( 6 )确定C (式中: vi为第i个最大特征值λ i)的特征向量v1，..，vD。

4.D个独立的特征向量作为决策空间的基，矩阵V ( V∈RD × D)作为旋转矩阵。在种群旋转后，利用SBX生成子代解，然后利用式( 7 )将子代解旋转回父代的方向。