用分治法实现大数乘法，加法，减法（java实现）
大数乘法即多项式乘法问题，求A(x)与B(x)的乘积C(x)，朴素解法的复杂度O(n^2)，基本思想是把多项式A(x)与B(x)写成
A(x)=a*x^m+b
B(x)=c*x^m+d
其中a,b,c,d为x的多项式。
则A(x)*B(x)=(ac)*x^2m+(ad+bc)*x^m+bd
由ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd
原来的4次乘法和1次加法由3次乘法和2次减法代替，减少了一次乘法操作。
用同样的方法应用到abcd的乘法上。
（以上内容摘自互联网）
以下为用java实现的代码：
1 package com.kyy.sf; 2 3 public class BigInteger { 4 5 public BigInteger() { 6 7 } 8 9 // 基本思想是把多项式A(x)与B(x)写成 10 // A(x)=a*x^m+b 11 // B(x)=c*x^m+d 12 // 其中a,b,c,d为x的多项式。 13 // 则A(x)*B(x)=(ac)*x^2m+(ad+bc)*x^m+bd 14 // 由ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd 15 // 字符串模拟乘法操作 16 17 public static String mut(String x, String y) { 18 // deep++;// Console.WriteLine("-" + deep + "-"); 19 String negative = ""; 20 // x,y同为正或者同为负 21 if ((x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) 22 || (!x.startsWith("-") && !y.startsWith("-"))) { 23 x = x.replaceAll("-", ""); 24 y = y.replaceAll("-", ""); 25 negative = ""; 26 }// x,y一正一负 27 else if ((x.startsWith("-") && !y.startsWith("-")) 28 || (!x.startsWith("-") && y.startsWith("-"))) { 29 x = x.replace("-", ""); 30 y = y.replace("-", ""); 31 negative = "-"; 32 } 33 34 // 如果长度都等于于9，直接相乘，返回就行了。 35 if (x.length() == 1 && y.length() == 1) { 36 // 计算乘积 37 int tmp = (Integer.parseInt(x) * Integer.parseInt(y)); 38 39 if (tmp == 0) { 40 return tmp + ""; 41 } else { 42 return negative + tmp; 43 } 44 } 45 46 // 公式里的abcd 47 String a, b, c, d; 48 if (x.length() == 1) { 49 a = "0"; 50 b = x; 51 } else { 52 if (x.length() % 2 != 0) { 53 x = "0" + x; 54 } 55 a = x.substring(0, x.length() / 2); 56 b = x.substring(x.length() / 2); 57 } 58 if (y.length() == 1) { 59 c = "0"; 60 d = y; 61 } else { 62 if (y.length() % 2 != 0) { 63 y = "0" + y; 64 } 65 c = y.substring(0, y.length() / 2); 66 d = y.substring(y.length() / 2); 67 } 68 // 按最大位数取值，以确定补零数目 69 int n = x.length() >= y.length() ? x.length() : y.length(); 70 71 String t1, t2, t3; 72 // 递归调用，根据公式计算出值。 73 String ac = mut(a, c); 74 String bd = mut(b, d); 75 t1 = mut(sub(a, b), sub(d, c)); 76 t2 = add(add(t1, ac), bd); 77 t3 = add(add(Power10(ac, n), Power10(t2, n / 2)), bd).replaceAll("^0+", 78 ""); 79 80 if (t3 == "") 81 return "0"; 82 return negative + t3; 83 } 84 85 private static String add(String x, String y) { 86 87 if (x.startsWith("-") && !y.startsWith("-")) { 88 return sub(y, x.replaceAll("^-", "")); 89 } else if (!x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) { 90 return sub(x, y.replaceAll("^-", "")); 91 } else if (x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) { 92 return "-" + add(x.replaceAll("^-", ""), y.replaceAll("^-", "")); 93 } 94 95 if (x.length() > y.length()) { 96 y = format(y, x.length(), "0"); 97 } else { 98 x = format(x, y.length(), "0"); 99 } 100 int[] sum = new int[x.length() + 1]; 101 102 for (int i = x.length() - 1; i >= 0; i--) { 103 int tmpsum = Integer.parseInt(x.charAt(i) + "") 104 + Integer.parseInt(y.charAt(i) + "") + sum[i + 1]; 105 if (tmpsum >= 10) { 106 sum[i + 1] = tmpsum - 10; 107 sum[i] = 1;// 表示进位 108 } else { 109 sum[i + 1] = tmpsum; 110 } 111 } 112 113 StringBuilder returnvalue = new StringBuilder(); 114 115 for (int i : sum) { 116 returnvalue.append(i); 117 } 118 119 if (sum[0] == 1) { 120 121 return returnvalue.toString(); 122 123 } else { 124 return returnvalue.replace(0, 1, "").toString(); 125 } 126 127 } 128 129 // 字符串模拟减法操作 130 private static String sub(String x, String y) { 131 132 // x是正数，y也是正数 133 int flag = checkBigger(x, y); 134 135 if (flag == 0) { 136 return "0"; 137 } else if (flag == -1) { 138 String tmp = y; 139 y = x; 140 x = tmp; 141 } 142 // 保证了x>=y 143 y = format(y, x.length(), "0");// y补0与x对齐 144 145 int[] difference = new int[x.length()]; 146 147 for (int i = x.length() - 1; i >= 0; i--) { 148 149 int tmpdifference; 150 151 tmpdifference = Integer.parseInt(x.charAt(i) + "") 152 - Integer.parseInt(y.charAt(i) + "") + difference[i]; 153 154 if (tmpdifference < 0) { 155 156 tmpdifference += 10; 157 difference[i - 1] = -1;// 表示进位 158 } 159 160 difference[i] = tmpdifference; 161 } 162 163 StringBuilder returnvalue = new StringBuilder(); 164 165 for (int i : difference) { 166 returnvalue.append(i); 167 } 168 169 String rv = returnvalue.toString().replaceAll("^0+", ""); 170 171 if ("".equals(rv)) { 172 return "0"; 173 } 174 175 if (flag == -1) { 176 rv = "-" + rv; 177 } 178 179 return rv; 180 } 181 182 // 比较大小 183 private static int checkBigger(String x, String y) { 184 185 if (x.length() > y.length()) { 186 187 return 1; 188 189 } else if (x.length() < y.length()) { 190 191 return -1; 192 193 } else { 194 195 for (int i = 0; i < x.length(); i++) { 196 197 if (x.charAt(i) > y.charAt(i)) { 198 199 return 1; 200 201 } else if (x.charAt(i) < y.charAt(i)) { 202 return -1; 203 } 204 } 205 206 return 0; 207 } 208 } 209 210 //数据前补零 211 private static String format(String str, int len, String fu) { 212 213 len = len - str.length(); 214 215 for (int i = 0; i < len; i++) { 216 217 str = fu + str; 218 } 219 220 return str; 221 222 } 223 224 // 模拟移位 225 public static String Power10(String num, int n) { 226 227 for (int i = 0; i < n; i++) { 228 229 num += "0"; 230 231 } 232 233 return num; 234 } 235 236 public static void main(String[] args) { 237 238 String x = "93859048059849086850986804750894758903278473894578397598475984784857487584758094875890475984955624146039530798877974"; 239 String y = "224343444859408590475847538946"; 240 System.out.println(mut(x, y)); 241 242 System.out.println(mut("1111111111", "1111111111")); 243 244 } 245 }
