树

本文的结构如下：

1. 查找（顺序查找、二分查找）
2. 树的定义
3. 树的表示

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在世界中，很多事物的组织方式都是有层次的，比如一个家族，上面有祖父祖母，下面有父亲母亲，然后才是孩子，又比如拿国家来说，中国由很多省份组成，这些省份又由很多市组成。又比如硬盘里的文件，C盘里包含了很多子文件，这些子文件下面又包含许多子文件......这都形成了一种层次关系，这种层次关系就是我们所说的树。

查找（Searching）

查找：根据某个给定的关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录。

静态查找：集合中记录是固定的。//没有插入和删除操作，只有查找。（例：查字典）

动态查找：集合中记录是动态变化的。//除查找，还可能发生插入和删除。

1.顺序查找

一般的表示方法就是把集合放在数组里面，在数组里面查找一个元素，最常见的方法就是顺序查找。

顺序查找的基本思想：从表的一端开始，顺序扫描线性表，依次将扫描到的结点关键宇和给定值K相比较。若当前扫描到的结点关键字与K相等，则查找成功；若扫描结束后，仍未找到关键字等于K的结点，则查找失败。

顺序查找的存储结构要求：适用于线性表的顺序存储结构，也适用于线性表的链式存储结构（使用单链表作存储结构时，扫描必须从第一个结点开始）。

//具体算法  
int SeqSearch(Seqlist R，KeyType K)
    { //在顺序表R[1..n]中顺序查找关键字为K的结点，
      //成功时返回找到的结点位置，失败时返回0
      int i；
      R[0].key=K； //设置哨兵
      for(i=n；R[i].key!=K;i--)； //从表后往前找
      return i； //若i为0，表示查找失败，否则R[i]是要找的结点
    } //SeqSearch
  
//类型说明
  typedef struct{
    KeyType key；
    InfoType otherinfo； //此类型依赖于应用
   }NodeType；
  typedef NodeType SeqList[n+1]； //0号单元用作哨兵

 

顺序查找算法分析：

1. 算法中设置哨兵的作用：为了在for循环中省去判定防止下标越界的条件i≥1，从而节省比较的时间。
2. 成功时的顺序查找的平均查找长度：在等概率情况下，p_i=1/n(1≤i≤n)，故成功的平均查找长度为(n+…+2+1)/n=(n+1)/2，即查找成功时的平均比较次数约为表长的一半。若K值不在表中，则须进行n+1次比较之后才能确定查找失败。
3. 时间复杂度为O(n)。

2、二分查找

假设n个数据元素的关键组满足有序（比如：小到大）：k1<k2<....<kn，并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找。

搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。   ---维基百科

//javascript版本
Array.prototype.binary_search = function(low, high, khey) {
    if (low > high)
        return -1;
    var mid = parseInt((high + low) / 2);
    if (this[mid] > khey)
        return this.binary_search(low, mid - 1, khey);
    if (this[mid] < khey)
        return this.binary_search(mid + 1, high, khey);
    return mid;
};

 

/*C版本*/
int BinarySearch(List Tbl , ElementType K)
{ /*在表Tbl中查找关键字为诶K的数据元素*/
   int left,right,mid,NoFound = -1;
   left = 1;                    /*初始左边界*/
   right = Tbl->Length;   /*初始右边界*/
   while (left <= right)
   {
       mid = (left+right)/2;   /*计算中间元素坐标*/
       if(K < Tbl->Element[mid])  right = mid -1;
       else if (K>Tbl->Element[mid])   left = mid + 1;
       else return mid;    /*查找成功，返回数据元素*/
    }
    return NotFound;     /*查找不成功，返回-1*/
}

 

二分查找的时间复杂度为 O(logn)。

由二分查找，我们可以得出这样的启示：（ASL是平均查找次数）

 

树的定义

树：n（n>=0）个结点构成的有限集合。当n=0时，称为空树；对于任意一颗非空树（n>0），它具有以下性质：

1. 树中有一个成为“根（Root）”的特殊结点，用r表示；
2. 其余结点可氛围m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2,...Tm，其中每个集合本森又是一棵树，成为原来树的“子树（SubTree）”

 在(a)中，A就是这棵树的根，(b)、(c)、(d)、(e)皆为(a)的子树。在(b)中，B又为这个子树的根....通过观察以上树的结构，可以得出以下几点：

1. 子树是不相交的；
2. 除根节点外，每个结点有且只有一个父节点；
3. 一棵N个节点的树，有N-1条边；

关于树的一些基本术语：

1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数
3. 叶节点（Leaf）：度为0的结点
4. 父节点（Parent）：有子树的结点是其子树的根节点的父节点
5. 子节点（Child）：若A结点是B结点的父节点，则称B结点是A的子节点，子节点也称孩子节点。
6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父节点的各结点彼此是兄弟结点。
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1,n2....,nk，ni是ni+1的父节点，路径所包含边的个数为路径的长度
8. 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一节点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点；
9. 子孙结点（Descendant）：某个结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙。
10. 结点的层次（Level）：规定根节点在1层，其他任一结点的层数是其父节点的层数加1.
11. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度。

树的表示

 所谓树可否用数组或者链表实现呢？



用数组实现树难度是比较大的。因为用数组表示我们只看到了结点的顺序，很难判别一个结点的父亲是谁？儿子是谁。



上图是利用链表实现树，A的指针指向它的三个儿子。像这样一个结构，我们可以看到很多结点都有不同数量的指针，给程序的设计带来了困难。有一种方法就是我们可以给各个结点都设置同样数量的指针，这样方法的好处就是树的各个结点结构是统一的。程序处理起来比较方便。但是这样带来的问题就是，如果树有N个结点，每个结点有三个指针域，所以整个树就会有3n个指针域，而我们的树只有N-1个指针是非0的，这样会造成有2n+1个指针域是空的，就会造成空间的浪费。有没有更好的方法呢？

有一种方法叫做“儿子-兄弟表示法”。



左边指针指向这个结点的第一个儿子，右边指针指向下一个兄弟。这样树中每个结点的结构是统一的，都有两个指针域，同时空间浪费也不大。

把这个树顺时针旋转45度（如下图所示），这个时候我们看到的是一棵树，树的特点就是每个结点都有两个指针，每个结点最多有两个儿子。这种树我们叫做二叉树。二叉树就是度为2的一种树。