实分析系列：点集拓扑之sigma代数

定义1：设$\Sigma $是由非空集合$X$ 中的子集所构成的集合族，称$\Sigma $ 为一个$\sigma $-代数；
当且仅当满足下列条件：
（1）$\varnothing \in \Sigma $ ；
（2）若 $A \in \Sigma $ ，则 ${{A }^{C}}\in \Sigma $ ；
（3）若${{A }_{n}}\in \Sigma $ ，则$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{{{A }_{n}}}\in \Sigma $ ；$n=1,2,...)$
定义2：设$X$ 为一非空集合，由$X$ 的所有子集构成的集合族称为$X$ 的幂集，记为
$P(X)$ 。
定理1：幂集 $P(X )$为一个$\sigma $-代数。
证明：因为幂集包含了$X$ 的所有子集，要证该定理只需证某些集合为$X $ 的子集即可。
（1）$\varnothing $ 是任何集合的子集，则也是$X $ 的子集；
（2）若$A $ 是$X $ 的子集，$X-A $即$A$的补集自然是$A $的子集；
（3）若$\forall n\in N $，${{A }_{n}}$ 是$X $ 的子集，子集的无限并集仍然是$X $的子集。
注1：该定理很容易看出，实则无需证明，该证明过程重在提供“证明集合族是一$\sigma $-代数”的思想———按定义检验。

注2：任一非空集合$X $ 均存在其幂集，且幂集中元素的个数为${{2}^{\text{n}}}$ ，$n$ 为非空集合$X$中的元素个数。

推论1：任一非空集合均存在一个$\sigma $-代数。（由幂集的存在性以及定理1推出）

定义3：设$\Gamma $ 为非空集合$X $ 中的一些子集所构成的集合族，$\Sigma $ 为包含$\Gamma $ 的一个$\sigma $-代数，
如果$\Sigma $为包含子集族$\Gamma $ 的最小$\sigma $-代数，则称为由$\Gamma $ 生成的$\sigma $-代数，记为$\Sigma (\Gamma )$ 。