经济增长系列：家庭最优化之单一家庭

公设1：任何家庭均具有双重角色：（1）在要素市场中，提供劳动以换取工资，提供资产以换取利息收入；（2）在产品市场中，购买商品用于消费，积累资产用于储蓄。

定义1：当决策者在决策时，考虑其后代的福利和资源约束，则称该决策者具有利他主义；特别地，某个家庭中的决策者，称为具有利他主义的父辈。 

定义2：当一个家庭分为父辈（决策者）和子辈，在某个时间点，父辈将决策权、决策偏好和全部资源全部转交给子辈，则称为代际垂直互动。

定义3：当一个家庭中，任何时刻均存在一个有限生命的父辈（家庭决策者）时，则称该家庭为不间断存在的家庭（家族）。

定义4：当一个家庭同时满足利他主义（altruistic）、代际垂直互动（perpendicular generation-interaction）以及不间断存在（continuous）条件时，称该家庭为APC家庭，记为APC。 

定理1：在APC家庭决策中，单个家庭等价于一个拥有无限寿命的父辈个体。 

证明：要证APC家庭决策等价于无限寿命的个体决策，只需证目标函数和预算约束相同

（1）利他主义的父辈在代际垂直互动中会将一切偏好（包含时间偏好）传递给子辈，这意味着子辈的效用函数（时间折现后的效用）与父辈一致；

（2）不间断存在的家庭意味着目标函数的时间区间为[0,$\infty$）,这与无限寿命个体的一致；

（3） 代际垂直互动中，父辈会将全部资源转交给子辈，因此在任何时刻，家庭的资源（预算约束）均等同于无限寿命父辈个体在该时刻的资源；

（4）决策的目标函数由效用函数、时间区间组成，由（1）和（2） 的家庭与无限寿命父辈个体的目标函数一致；根据（3）可得预算约束一致。

定理1得证。 

 定义5：当任意时刻有且仅有单位1的父辈时，即APC家庭的规模增长速度为0，且APC家庭的决策时间起点为0时刻，则称该家庭为标准APC家庭，记为SAPC。

模型1：在预算约束下，单一SAPC家庭追求效用最大化，其模型表示如下：

 

 

 

                                                       $Max\,\, U=\int _{t=0}^{\infty}e^{-\rho t}U[c(t)] dt\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$                                                            

                     $S.t.\,\,\dot{a}=w\cdot l +r\cdot a-c\qquad\qquad\qquad\qquad\                               (2)$

                                                                       $a(0)given$                                                      $(3)$

 

 

 

注1：方程式$（1）$中函数$u(c)$为父辈个体的效用函数，与其消费量$c$有关（即父辈个体的满足感只能通过消费商品才可获得）；$\rho$为效用流的贴现率，反映的是父辈个体的时间偏好（耐心程度）；$\rho >0$意味着越晚获得的效用，其值越低，这也就是说，如果家庭决策偏好中，存在一单位的产品可供分配，父辈会偏好于将该单位产品用于自己消费，而非用于子辈的消费上（注：这被Ramsey（1928）称为“从伦理上是站不住脚的”，因此Ramsey倾向于假定$\rho=0$），$\rho$值越大，意味着父辈越不耐心，当$\rho\rightarrow\infty$时，父辈仅仅关注当前自己的消费，即所谓的“今朝有酒今朝醉”现象；方程$(1)$表示具有无限寿命的父辈个体将其所有未来效用流贴现到0时刻，用于追求一生总效用最大化的目标函数,由定理1知，也是单APC家庭的效用最大化的目标函数。

方程式$(2)$中$w$表示父辈个体在劳动力市场面临的单位劳务的工资率，$l$为其每单位时间内供给的劳务数量，$r$是资本市场的资产收益率，$a$指父辈个体在资本市场提供的资产数量，$c$则是父辈个体的个人消费量，$\dot{a}$为个人资产的资产增量，是$a$关于时间$t$的导数，通俗的说，就是“父辈个体在某一时点上赚的钱”，整个方程式$(2)$表示父辈个体的预算约束。其中$c , w ,r ,a ,l$均为时间的函数，为了简化书写， 省略了时间下标，$\rho$也为时间的函数，即个人的耐心程度会随时间而变化，但这里假定其为一个恒定的常数。

 

简化1：（1）家庭面临的要素市场是完全竞争市场；这意味着该家庭面临给定的利率$r(t)$和给定的单位劳务的工资率$w(t)$；（2）$l==1$，意味着每个成人（SAPC家庭中有且仅有一个父辈，一般为成年人，因此有时会用”成人“来指代”父辈“）在单位时间固定供给1单位劳务，即不考虑劳动与闲暇的选择且$l$为不包含人力资本的劳动。因此式$(2)$可改写如下：

 

$S.t.\,\,\dot{a}=w+r\cdot a-c\qquad\qquad\qquad\qquad\                                                     (4)$  

 

式$(1)(2)$和式$(3)$构成一个动态优化问题，但并不能满足求解的充分条件，需要添加几项限制。

限制条件1：（1）效用函数方面：1.1递增凹性；即假定$u(c)$是关于$c$递增的凹函数，1.2稻田条件；（2）预算约束方面：非庞氏条件；